THESE Mathématiques

Abderrahmane Nitaj

Conséquences et aspects expérimentaux des conjectures abc et de Szpiro.

Caen (France), 1994 :

Yves Hellegouarch, Directeur, Caen, Michel Langevin, Rapporteur, Lille, Joseph Oesterlé, Rapporteur, Paris, Eric Reyssat, Caen, Brigitte Vallée, Caen.

Table de matières

Présentation : ........................................................................................................ i.

Chapitre 1. Les conjectures de Szpiro et de Oesterlé-Masser : ............... 1.

Chapitre 2. Les équations de Thue et de Pell : ........................................... 51.

Chapitre 3. Algorithms for finding good abc-examples : .......................... 82.

Chapitre 4. Résultats expérimentaux : .......................................................... 95. Appendices : .......................................................................................................... 114. Bibliographie : ...................................................................................................... 127. Résumé : ................................................................................................................ 132.

PRESENTATION

Ce travail a pour but l’étude, aussi bien théorique qu’expérimentale de deux conjectures contemporaines. La première est la conjecture, ou plus exactement les conjectures de Szpiro et la deuxième est la conjecture d’Oesterlé-Masser, connue aussi sous le nom de conjecture abc.

Les conjectures de Szpiro étudient le lien entre le discriminant minimal des courbes elliptiques et entre leur conducteurs. Dans le cas particulier des courbes elliptiques semistables, ce conducteur est précisement le produit des facteurs premiers composant le discriminant minimal.

La conjecture abc (dans ZZ ) étudie quant à elle le lien entre la plus grande valeur absolue de trois entiers non nuls premiers entre eux et de somme nulle et entre le produit des facteurs premiers composant ces nombres. Cette conjecture implique entre autre que l’un des trois entiers en question est mal composé, c’est-à-dire qu’il n’est pas très grand relativement au produit des nombres premiers le composant.

Ce travail est composé de deux parties principales. La première partie est théorique et étudie les conjectures de Szpiro ainsi que la conjecture abc et de leur importance en Théorie des Nombres. La deuxième partie étudie les aspects expérimentaux, ainsi que des moyens permettant d’obtenir de bons résultats numériques allant curieusement dans le sens contraire de ces conjectures. Sans pour autant prouver ou infirmer ces conjectures, ces exemples sont cependant presque des contres exemples, et leur nombre est curieusement élevé.

Le premier chapitre commence par une description des conjectures de Szpiro, puis la description de la conjecture abc. Le lien entre ces conjectures est clairement établi. Ce chapitre théoriques est consacré essentiellement ensuite aux conséquences de ces conjectures en Théorie des Nombres. On montre ainsi que plusieurs conjectures et questions ouvertes peuvent être résolues si la conjecure abc est prouvée. On montre par exemple que les conjectures de Fermat, d’Erdös-Woods, de Hall, de Catalan, de Pillai, de Shorey-Tijdeman, de Mollin-Walsh, de Calderbank, d’Erdös-Stewart et d’autres ne portant pas spécialement de noms sont des conséquences totales ou partielles de la conjecture abc. On montre aussi comment les conjectures de Szpiro et la conjecture abc interviennent dans certains problèmes non résolus, comme par exemple le critère de Wieferich, le problème de Brocard, le problème d’Edgar, le problème de Goormaghtigh et d’autres en les résolvant totalement ou partiellement. Une conséquence importante de la conjecture abc particulièrement est le traîtement des équations diophantienes, en montrant généralement que leur nombre de solutions est fini. C’est le cas par exemples des équations diophantiennes suivantes, sous certaines conditions supplémentaires portant souvent sur les exposants:

x^{n} + y^{n} = z^{n} en entiers x, y, z, n,

x^{3} − y^{2} = k, en entiers x, y,
ax^{m} − by^{n} = c, en entiers x, y, m, n,
ax^{l} + by^{m} = cz^{n} en entiers x, y, z, l, m, n,
n! + 1 = y^{2} en entiers n, y,
x^{n} + y^{n} = n!z^{n} en entiers x, y, z, n,
1 + x + ⋯ + x^{n−1} = y^{k} en entiers x, y, n, k.

Le deuxième chapitre constitue un lien entre la partie théorique et la partie pratique. Il traîte des équations de Thue, de l’algorithme de Cornacchia et des équations de Pell.

On détermine pour l’équation de Thue une borne inférieure pour les solutions ne dépendant que du polynôme intervenant dans cette équation pour que les solutions proviennent du développement en fractions continues de certains nombres réels, dépendant de l’équation. L’algorithme de Cornacchia est révisé, simplifié et étudié de point de vue algorithmique. L’équation de Pell est étudiée plus en détail, aussi bien de point de vue théorique qu’algorithmique. Un algorithme est établi pour la résolution de ces équations. On établit ensuite la complexité des algorithmes de Cornacchia et de celui permettant de résoudre les équations de Pell. Comme première application des équations de Thue, on étudie le quotient de Szpiro pour certaines familles de courbes elliptiques semi-stables, déterminant ainsi plusieurs “presque contre exemples” pour la conjecture de Szpiro sur les courbes elliptiques. Une deuxième application des équations de Thue est la recherche des nombres de Ramanujan. Ce sont des entiers positifs n qui s’écrivent d’au moins deux façons différentes sous la formes n = x_{1}^{3} + y_{1}^{3} = x_{2}^{3} + y_{2}^{3}.

Le troisième chapitre décrit un algorithme de recherche de bons exemples pour le conjecture abc et pour la conjecture de Szpiro relative aux relations abc, et qui sont des triplets (a, b, c) d’entiers premiers entre eux et tels que a+b+c = 0. Cet algorithme utilise la résolution des congruences, l’utilisation des méthodes d’approximations et la factorisation des entiers. On étudie aussi les moyens de le rendre plus efficace, en jouant par exemple sur la nature des paramètres

Le quatrième chapitre traîte des aspects expérimentaux des conjectures de Spiro et de la conjecture abc. On étudie en particulier les quotients de Szpiro pour les relations abc, ainsi que le quotient d’Oesterlé-Masser. Il présente enfin la liste des meilleurs exemples numériques relativement aux conjectures de Szpiro et à la conjecture abc. Ces exemples sont listés en tables indiquant leur importance décroissante pour ces conjectures.

CHAPITRE 1

Les conjectures de Szpiro et de Oesterlé-Masser

I. Les Relations abc II. Les conjectures de Szpiro III. La conjecture abc IV. Applications conjecturales V. Résultats en faveur des conjectures abc et de Szpiro VI. Généralisations de la conjecture abc

Les conjectures de Szpiro et de Oesterlé-Masser

I. Les relations abc

Définition 1. Une relation abc est une relation de la forme a + b + c = 0 où a, b et c sont des entiers premiers entre eux.

Les relations abc jouent un rôle fondamental en théorie des nombres. Nous allons citer quelques unes de ces relations. Quelle plus belle relation peut-on rêver qu’une relation de Fermat:

x^{n} + y^{n} = z^{n},

où n ≥ 3 et xyz ≠ 0? On savait depuis longtemps (Voir [Rib1], p.164) qu’on ne pouvait pas avoir de telles relations pour 3 ≤ n ≤ 10^{6}. Cette borne a été portée récemment 4 × 10^{6} (voir [B-C-E-M]). En juin 1993, A. Wiles a surpris le monde mathématique en annonçant la résolution du théorème de Fermat. Malheureusement, sa démonstration n’est pas jugée encore complète. Aujourd’hui encore, la conjecture de Fermat reste non démontrée. Sont célèbres aussi les triplets de Pythagore (m^{2}+n^{2}, m^{2}−n^{2}, 2mn) qui vérifient la relation abc:

(m^{2} + n^{2})^{2} = (m^{2} − n^{2})^{2} + 2^{2}m^{2}n^{2},

où m et n sont des entiers non nuls, premiers entre eux et de parités différentes. Certaines égalités spéciales de la théorie des nombres forment aussi des relations abc. Nous en énumérons quelques unes.

- La relation de définition des nombres de Fermat F_{n} = 2^{2^{n}} + 1, que celui-ci croyait tous premiers, ce qui est vrai pour n = 0, 1, 2, 3, 4, mais faux pour 5 ≤ n ≤ 21 et pour d’autres valeurs de n, fournit des relations abc. On conjecture actuellement que seul un nombre fini de nombres de Fermat sont premiers.

- La relation de définition des nombres de Mersenne M_{p} = 2^{p} − 1, où p est un nombre premier. On conjecture par contre qu’il y a une infinité de nombres de Mersenne premiers.

- Le (petit) théorème de Fermat montre que pour tout nombre premier p, les relations a^{p−1} ≡ 1 (mod p) sont réalisées pour tout entier a premier avec p: ceci donne autant de relations abc.

- Un autre théorème célèbre est le théorème de Wilson qui établit que tout nombre premier p vérifie (p − 1)! ≡ −1 (mod p). Ces congruences fournissent aussi des relations abc. Les nombres premiers p vérifiant (p − 1)! ≡ −1 (mod p^{2}) sont appelés les nombres de Wilson.

- La généralisation du (petit) théorème de Fermat donne aussi des relations abc: pour tous entiers m et a premiers entre eux, a^{ϕ(m)} ≡ 1 (mod m), où ϕ désigne la fonction d’Euler.

- Les nombres de Wieferich sont des nombres premiers vérifiant 2^{p−1} ≡ 1 (mod p^{2}). Leur finitude est encore une question ouverte. Nous verrons plus loin que la conjecture abc implique qu’il y a une infinité de nombres premiers qui ne sont pas des nombres de Wieferich.

- Les nombres de Poulet (ou pseudopremiers en base 2) sont des nombres entiers composés n tels que 2^{n−1} ≡ 1 (mod n). Les nombres de Poulet sont en nombre infini (voir [Niv-Zuk-Mon]).

- Les nombres de Carmichael sont les entiers composés n tels que a^{n−1} ≡ 1 (mod n) pour tout entier a, 1 < a < n tel que (a, n) = 1. L’existence d’une infinité de nombres de Carmichael a été démontré en 1992 par C. Pomerance.

Toutes ces relations abc, qui au départ sont indépendantes entre elles, entrent dans le cadre d’une grande conjecture contemporaine: la conjecture abc. Nous verrons au long de ce chapitre dans quelle mesure cette conjecture peut donner des informations sur ces relations.

Nous allons définir une fonction qui interviendra constamment dans la suite et qui est en fait liée à la conjecture abc.

Définition 2. Soit n un entier non nul. On appelle radical de n et on écrit r(n) le produit

r(n) = ∏_{p|n} p (p premier),

des facteurs premiers divisant n. Le radical de n est aussi appelé son support ou son conducteur.

II. Les conjectures de Szpiro

1. Enoncés.

Soit E une courbe elliptique définie sur Q , de discriminant minimal Δ_{E} et de conducteur N_{E} (voir Appendice A). Lorsque E est semi-stable, alors N_{E} = r(|Δ_{E})|. Nous allons commmencer en énonçant trois conjectures de Szpiro.

Conjecture 1. ( Szpiro, forme forte). Pour tout ε > 0, il existe une constante c(ε) > 0 telle que l’on ait:

|Δ_{E}| ≤ c(ε)N_{E}^{6+ε}

pour toute courbe elliptique semi-stable E sur Q , de discriminant minimal Δ_{E} et de conducteur N_{E}.

Nous allons utiliser une démonstration d’Oesterlé [Oes] pour montrer que la condition ε > 0 est nécessaire dans cette conjecture.

Proposition 1. Soit ε ⟼ c(ε) une application vérifiant la conjecture 1. Alors

lim_{ε→0} c(ε) = +∞.

Preuve. Définissons les trois suites (a_{n}), (b_{n}) et (c_{n}) par a_{0} = 16, b_{0} = 1, c_{0} = −17 et:

a_{n+1} = 4a_{n}b_{n},
b_{n+1} = (a_{n} − b_{n})^{2},
c_{n+1} = −(a_{n} + b_{n})^{2}.

Ces suites vérifient pour tout n ≥ 0, c_{n} ≡ −1 (mod 4), 16|a_{n} et a_{n} + b_{n} + c_{n} = 0. On peut vérifier facilement que (a_{n}, b_{n}) = 1. Considérons la courbe elliptique E_{n} définie sur Q par la forme de Weiersrass:

E_{n} : y^{2} + xy = x^{3} + \frac{a_{n} − c_{n} − 1}{4}x^{2} − \frac{a_{n}c_{n}}{16} x.

Comme nous le verrons dans la partie II, proposition 3, cette courbe est semi-stable sur Q et le modèle donné ci-dessus est minimal. Son discriminant minimal est

Δ = (\frac{a_{n}b_{n}c_{n}}{16} )^{2} .

Appliquons la conjecture 1 à cette courbe. Nous obtenons:

(\frac{a_{n}b_{n}c_{n}}{16} )^{2} ≤ c(ε) (r (\frac{a_{n}b_{n}c_{n}}{16} ))^{6+ε} ,

ce qui donne:

c(ε) ≥ \begin{matrix}(a_{n}b_{n}c_{n}/16) & 2 \\ (r(a_{n}b_{n}c_{n}/16)) & 6+ε \end{matrix} .

Posons

λ_{n} = \begin{matrix}(a_{n}b_{n}c_{n}/16) & 2 \\ (r(a_{n}b_{n}c_{n}/16)) & 6 \end{matrix} .

Pour n ≥ 1, on a 2^{6}|a_{n} et donc r(4a_{n}/16) = r(a_{n}/16). Alors:

\underline{lim}_{ε→0} c(ε) ≥ λ_{n+1} ≥ 16λ_{n} \frac{(a_{n} + b_{n})^{2}}{(a_{n} − b_{n})^{2}} > 16λ_{n}.

Ceci implique donc que lim_{ε→0}c(ε) = +∞. ■

Il existe aussi une conjecture de Szpiro, dite “faible” qui s’énonce ainsi:

Conjecture 2. (Szpiro, forme faible). Il existe deux constantes absolues c_{1} et c_{2} telles que pour toute courbe elliptique semi-stable sur Q , de discriminant minimal Δ_{E} et de conducteur N_{E} on ait:

|Δ_{E}| ≤ c_{1}N_{E}^{c_{2}}.

Nous allons suivre S. Lang pour énoncer la conjecture suivante(voir [Lan]):

Conjecture 3. (Szpiro, généralisée). Pour tout ε > 0 et pour A et B, entiers premiers entre eux, il existe une constante c(ε, A, B) > 0 telle que pour tous entiers u, v, k vérifiant (Au^{3}, Bv^{2}) = 1 et k = Au^{3} + Bv^{2}, on ait:

|u| ≤ c(ε, A, B)r(k)^{2+ε}  et  |v| ≤ c(ε, A, B)r(k)^{3+ε}.

Nous allons montrer maintenant quel est le lien entre les conjectures 1 et 3.

Proposition 2. La conjecture 3 implique la conjecture 1.

Preuve. Soit E une courbe elliptique semi-stable définie sur Q par un modèle minimal. Les quantités Δ_{E}, c_{4} et c_{6} liées à cette courbe vérifient:

Δ_{E}, c_{4}, c_{6} entiers,
(c_{4}, Δ_{E}) = (c_{6}, Δ_{E}) = 1,
c_{4}^{3} − c_{6}^{2} = 1728Δ_{E}.

Puisque E est semi-stable, alors son conducteur vérifie N_{E} = r(Δ_{E}). Admettons la conjecture 3 et appliquons-la au triplet (1728Δ_{E}, −c_{4}^{3}, c_{6}^{2}), on obtient:

|c_{4}| ≤ c_{1}(ε)N_{E}^{2+ε}  et  |c_{6}| ≤ c_{1}(ε)N_{E}^{3+ε},

d’où l’on tire:

|1728Δ_{E}| ≤ |c_{4}|^{3} + c_{6}^{2} ≤ c_{2}(ε)N_{E}^{6+3ε},

ce qui donne ensuite l’inégalité de la conjecture 1. ■

2. Les quotients de Szpiro.

(a) Cas général. Pour une courbe elliptique semi-stable définie sur Q , de discriminant minimal Δ_{E} et de conducteur N_{E} = r(Δ_{E}), la conjecture 1 implique que

log |Δ_{E}| ≤ log c(ε) + (6 + ε) log N_{E},

et donc que le rapport

σ_{E} = \frac{log |Δ_{E}|}{log N_{E}}

est borné. Ce rapport est appelé quotient de Szpiro pour les courbes elliptiques semistables. Nous donnerons dans le chapitre 2 des exemples de courbes elliptiques semistables sur Q ayant un quotient de Szpiro assez élevé par rapport à la valeur conjecturale 6. Comme on l’a vu dans la proposition 1, il existe un nombre infini de courbes elliptiques semi-stables sur Q pour lesquelles le quotient de Szpiro est supérieur à 6. Dans [Fo-Na-Te], en utilisant des outils analytiques, E. Fouvry, M. Nair et G. Tenenbaum ont montré que pour tout ε > 0, l’ensemble des classes des courbes elliptiques semi-stables pour les quelles σ_{E} > 1 + ε est négligeable dans l’ensemble des classes des courbes elliptiques semi-stables.

(b) Courbes elliptiques E_{abc}. Soient a, b, c des entiers premiers entre eux vérifiant a + b + c = 0. Soit E_{abc} la courbe elliptique définie sur Q par l’équation:

(1)  E_{abc} : Y^{2} = X(X − a)(X + b).

Ces courbes ont été introduites par Y. Hellegouarch en 1972 dans [Hel1], pour l’étude de l’équation de Fermat:

x^{n} + y^{n} = z^{n}

en entiers x, y, z tels que xyz ≠ 0 où n ≥ 3 est donné. Elles ont été utilisées ensuite par G. Frey pour étudier le lien entre les courbes elliptiques et les triplets (a, b, c) tels que a + b + c = 0, (voir [Fre]). Le discriminant du modèle de Weierstrass de la courbe E_{abc} est Δ = 16(abc)^{2} et l’invariant c_{4} est c_{4} = −16(ab + ac + bc). La quantité ab + ac + bc est toujours impaire puisque un seul des entiers a, b ou c est pair, et donc le modèle (1) est minimal en 2. Si abc ≢ 0 (mod 16), alors (Δ, c_{4}) = 16 et le modèle (1) n’est pas un modèle minimal semi-stable en 2. Si 16|abc, alors l’un des trois entiers a, b ou c est de la forme 4n − 1 avec n ∈ ZZ . Supposons par exemple que a, b et c vérifient le système:

(2)  \{ \begin{matrix}a + b + c = 0, \\ a ≡ −1 (mod 4), \\ 16|b. \end{matrix}

En effectuant le changement de variables X = 4x et Y = 8y + 4x, on obtient une nouvelle équation pour la courbe E_{abc}:

(3)  E_{abc} : y^{2} + xy = x^{3} + \frac{b − a − 1}{4}x^{2} − \frac{ab}{16}x.

Proposition 3. Si a, b et c vérifient le système (2), alors l’équation (3) est un modèle minimal sur ZZ et représente une courbe elliptique semi-stable.

Preuve. Puisque les entiers a, b et c vérifient le système (2), alors \frac{b − a − 1}{4} et \frac{ab}{16} sont des entiers. Les invariants Δ et c_{4} sont:

Δ = (\frac{abc}{16})^{2}  et  c_{4} = −(ab + bc + ca).

Or c_{4} = c^{2} − ab et donc (Δ, c_{4}) = 1. Alors, (voir Appendice A) l’équation (3) représente un modèle minimal et la courbe E_{abc} est semi-stable. ■

On donne maintenant la conjecture suivante relative aux triplets abc.

Conjecture 4. (Szpiro pour les relations abc). Pour tout ε > 0, il existe une constante c(ε) > 0 telle que pour tout triplet d’entiers premiers entre eux vérifiant a + b + c = 0 et 16|abc on ait:

|abc| ≤ c(ε) (r(abc))^{3+ε} .

On a alors la proposition suivante.

Proposition 4. La conjecture 1 implique la conjecture 4.

Preuve. Si a, b et c vérifient le sytème (2), alors la conjecture 1 appliquée à la courbe elliptique E_{abc} définie par (3) donne:

(\frac{abc}{16})^{2} ≤ c(ε) (r (\frac{abc}{16}))^{6+ε} ≤ c(ε) (r(abc))^{6+ε}

et donc:

|abc| ≤ 2^{4}c(ε))^{1/2} (r(abc))^{3+ε/2} ,

d’où la conclusion de la conjecture 4. ■

Remarque. L’inégalité de la conjecture 4 peut être étendue aux relations abc même si 16 |̸abc, car si a + b = c, alors l’un des trois entiers a, b ou c est pair. On suppose par exemple que b est pair. En appliquant la conjecture 4 à la relation: (a^{2} + b^{2})^{2} = (a − b)^{2}(a + b)^{2} + 4a^{2}b^{2}, on obtient l’inégalité |abc| ≤ c(ε) (r(abc))^{3+ε} . Ceci se fait par une méthode analogue à la démonstration de la proposition 1.

L’inégalité de la conjecture 4 implique que le rapport

ρ = ρ(a, b, c) = \frac{log |abc|}{log(r(abc))},

est borné. Nous l’appellerons rapport de Szpiro pour les relations abc. Nous expliciterons dans le chapitre 4 plusieurs familles infinies de triplets abc pour lesquels on a ρ(a, b, c) > 3.

Nous donnons enfin une dernière conjecture de Szpiro, qui est en fait une conséquence de la conjecture 1. En quotientant la courbe elliptique E_{abc} définie par (1) par ses sous groupes d’ordre deux, on obtient trois courbes elliptiques semi-stables de discriminants minimaux −a^{4}bc/16, −a(b/16)^{4}c et −abc^{4}/16 et de conducteurs communs r(abc/16). En appliquant la conjecture 1 à ces courbes, on obtient, la conjecture suivante, valable d’abord sous les conditions (2), mais qu’on peut étendre ensuite à tout triplet (a, b, c) d’entiers premiers entre eux en utilisant la remarque ci-dessus (voir aussi [Szp] et [Oes]).

Conjecture 5. Pour tout ε > 0, il existe une constante c(ε) > 0 telle que pour tout triplet (a, b, c) d’entiers premiers entre eux vérifiant a + b + c = 0 on ait:

max(|a|, |b|, |c|) ≤ c(ε) (r(abc))^{6/5+ε} .

III. La conjecture abc

Motivés par un théorème de Mason sur les polynômes et par les conjectures de Szpiro décrites ci-dessus, J. Oesterlé et D.W. Masser ont formulé en 1985 la conjecture suivante:

Conjecture 6. (abc, Oesterlé-Masser). Soit ε > 0, il existe une constante c(ε) > 0 telle que pour tout triplet (a, b, c) d’entiers, premiers entre eux vérifiant 0 < a < b < c et a + b = c on ait:

c ≤ c(ε) (r(abc))^{1+ε} .

Cette conjecture est née à Bonn d’une discution entre J. Oesterlé et D. W. Masser. Oesterlé avait posé la question sur la possibilité de trouver le meilleur exposant espérable α tel que pour tout triplet (a, b, c) d’entiers strictement postifs, premiers entre eux et vérifiant a + b = c on ait:

c < (r(abc))^{α} .

Par analogie avec le théorème de Mason, Oesterlé et Masser ont suggéré la forme donnée dans la conjecture 6. Une forme équivalente de la conjecture abc est donnée par la proposition suivante:

Proposition 5. La conjecture abc est telle que pour tout ε > 0, il existe une constante c(ε) > 0 telle que pour tout triplet (a, b, c) d’entiers, premiers entre eux et vérifiant a + b + c = 0 on ait:

r(abc) ≥ c(ε) (max(|a|, |b|, |c|))^{1−ε} .

Preuve. Ceci provient tout simplement du fait que pour tous réels positifs A et B, l’inégalité:

A ≤ c_{1}(ε)B^{1+ε},

est équivalente à:

B ≥ (\frac{A}{c_{1}(ε)})^{1/(1+ε)} = c_{2}(ε′)A^{1−ε′},

avec ε′ = ε/(1 + ε). ■

Une première analyse de l’inégalté de la conjecture abc montre que le produit abc contient un grand nombre de facteurs premiers ou qu’il contient quelques grands facteurs premiers avec des exposants relativement petits. On peut le vérifier sur les quelques exemples numériques de la table 1 ci-dessous où a_{n} = 1, b_{n} = 5^{2^{n}} − 1 et c_{n} = 5^{2^{n}} pour 3 ≤ n ≤ 7. Ces exemples sont plutôt optimistes pour l’inégalité de la conjecture abc car 2^{n+2}|5^{2^{n}} − 1.

Table 1

n a b  c
3 1 2^{5}.3.13.313  5^{2^{3}}
4 1 (5^{2^{3}} − 1) .2.17.11489  5^{2^{4}}
5 1 (5^{2^{4}} − 1) .2.2593.29423041  5^{2^{5}}
6 1 (5^{2^{5}} − 1) .2.641.75068993.241931001601  5^{2^{6}}
7 1 (5^{2^{6}} − 1) .2.769.3666499598977.96132956782643741951225664001 5^{2^{7}}

On peut aussi constater le même phénomène dans les tables de factorisation de nombres de la forme a^{n} − b^{n} données à la fin du livre de H. Riesel (voir [Rie], pp 381-437). La proposition suivante montre que le choix de ε = 0 n’est pas possible dans la conjecture abc.

Proposition 6. Soit ε ⟼ c(ε) une application vérifiant la conjecture abc. Alors

lim_{ε→0} c(ε) = +∞.

Cette proposition est un corollaire de la proposition 1. Une autre démonstration se trouve dans [Lan]. Nous donnons malgré tout une autre démonstration, qui se distingue particulièrement par sa simplicité.

Preuve. La relation évidente 3^{2} − 2^{3} = 1 nous donne une infinité de couples d’entiers (x_{n}, y_{n}) premiers entre eux, vérifiant pour tout n ≥ 1, x_{n}^{2} − 2y_{n}^{2} = 1. En effet, soient x_{1} = 3 et y_{1} = 2. Pour tout n ≥ 1, on définit les entiers x_{n} et y_{n} par la relation:

x_{n} + y_{n}\sqrt{2} = (x_{1} + y_{1}\sqrt{2})^{n} .

Si n = 2^{m}, on vérifie facilement par récurrence que 2^{m+1}|y_{n}. Appliquons la conjecture abc à la relation x_{n}^{2} = 1 + 2y_{n}^{2}. On obtient pour n = 2^{m}:

x_{n}^{2} ≤ c(ε) (r (x_{n}y_{n}))^{1+ε} ≤ c(ε) (x_{n}y_{n}/2^{m})^{1+ε} ≤ c(ε)x_{n}^{2(1+ε)}/2^{m(1+ε)}.

Alors c(ε) ≥ 2^{m(1+ε)}/x_{n}^{2ε}. d’où

\underline{lim}_{ε→0} c(ε) ≥ 2^{m},

ce qui montre que lim_{ε→0} c(ε) = +∞. ■

Nous donnerons une autre démonstration de la proposition 6 dans le chapitre 4 en exhibant plusieurs familles infinies de triplets abc (x, y, z) avec 0 < x < y pour lesquels le rapport de Oestrlé-Masser:

α = α(x, y, z) = \frac{log z}{log r(xyz)},

est supérieur à la valeur conjecturale 1. Enfin, une autre démonstration de la proposition 6 résulte d’un travail de C. L. Stewart et R. Tijdeman (voir [Ste-Tij]) qui ont établit le théorème suivant:

Théorème 1. (Stewart, Tijdeman, 1986). Pour tout ε > 0, il existe une infinité de triplets (a, b, c) d’entiers positifs verifiant (a, b, c) = 1, a + b = c et

c > r(abc) exp \{(4 − ε)\frac{\sqrt{log r(abc)}}{log log r(abc)}\} .

Dans leur démonstration, Stewart et Tijdeman ont seulement prouvé l’existence de tels triplets. Soit ε > 0 donné. Si (a, b, c) est un triplet qui vérifie l’inégalité du théorème 1, alors:

ε > 4 − (log c − log r) \frac{log log r}{\sqrt{log r}} = τ(a, b, c) = τ.

Il suffit donc que le triplet (a, b, c) vérifie τ ≤ 0. Ces triplets étant nombreux, nous avons regroupé dans la table 2 ci-dessous quelques uns d’entre eux avec τ < −2.

Table 2

a  b  c  τ
3^{13}.5^{4}.23.73^{3}  2^{24}.13^{12}  11^{12}.29.4294769 −3.83134
151^{2}.7^{4}.181^{4}  2^{25}.29.3^{4}.10753 5^{24}  −3.64801
2^{5}.3^{18}  5^{6}.7^{10}.23^{2}  11^{9}.990203  −2.90520
3.31.773^{2}  113^{3}.5^{8}.11^{4}.103^{2} 2.19^{11}.613^{2}  −2.81387
61^{4}  2^{20}.41^{3}.83^{2}  3^{22}.5.19.167  −2.58932
2^{13}.3^{13}.11^{3}  13.29.43^{6}.673  5^{20}.17  −2.56459
7^{3}.103.2887403261 2^{7}.5^{25}  3^{25}.19^{6}  −2.27466
3^{2}.233  23^{7}.293^{2}  2^{15}.5^{2}.13^{5}.31^{2} −2.27108
2^{33}.5  3^{9}.7^{6}.31^{2}.97  11^{2}.19^{3}.127^{4}  −2.16099
2^{10}.19^{10}  5^{6}.13^{4}.29^{5}  3^{20}.4425749  −2.12318
3^{6}.157^{3}.283  23^{10}  2^{30}.5^{2}.11^{2}.13  −2.03526

Comme nous l’avons dit au début de cette partie, la conjecture abc dérive en partie des conjectures de Szpiro, on va montrer maintenant quel est le lien entre elles.

Proposition 7. La conjecture abc est équivalente à la conjecture de Szpiro généralisée.

Preuve. 1) Admettons d’abord la conjecture abc. Soient A, B, u, v et k des entiers tels que (Au^{3}, Bv^{2}) = 1 et k = Au^{3} + Bv^{2}. On obtient par la conjecture abc:

|v|^{2} ≤ \frac{c_{1}(ε)}{|B|} (r(ABuvk))^{1+ε} ≤ c_{2}(ε, A, B)|uv|^{1+ε} (r(k))^{1+ε} .

Supposons que |Au^{3}| ≤ |Bv^{2}|, alors |u| ≤ c_{3}(A, B)|v|^{2/3}. En portant cette majoration dans l’inégalité ci-dessus, on obtient:

|v|^{2} ≤ c_{4}(ε, A, B)|v|^{5(1+ε)/3} (r(k))^{1+ε} ,

et par suite:

|v|^{(1−5ε)/3} ≤ c_{4}(ε, A, B)r(k)^{1+ε}.

Supposons que 1 − 5ε > 0, alors on obtient:

|v| ≤ c_{5}(ε, A, B) (r(k))^{3(1+ε)/(1−5ε)} .

Posons ε′ = 18ε/(1 − 5ε), alors l’inégalité précédente devient:

|v| ≤ c_{5}(ε′, A, B) (r(k))^{3+ε′} .

On obtient alors pour |u|:

|u| ≤ c_{5}^{2/3}(ε′, A, B)c_{3}(A, B)r(k)^{2(3+ε′)/3} ≤ c_{6}(ε′, A, B) (r(k))^{2+ε′} .

Ceci prouve la conjecture de Szpiro généralisée.

2) Inversement, admettons la conjecture de Szpiro généralisée. Reprenons la courbe elliptique E_{abc} définie par l’équation (1), où a, b et c vérifient (a, b, c) = 1, 0 < a < b < c et a + b = c. Son discriminant est Δ = 16(abc)^{2} et deux de ses invariants sont c_{4} = 16(a^{2}+ab+b^{2}) et c_{6} = −32(b−a)(a+2b)(2a+b). En simplifiant la relation c_{4}^{3}−c_{6}^{2} = 1728Δ, nous obtenons:

(a^{2} + ab + b^{2})^{3} − (\frac{(b − a)(a + 2b)(2a + b)}{2})^{2} = 3^{3} (\frac{ab(a + b)}{2})^{2} .

Cette relation peut éventuellement être simplifiée par 3^{3} si a ≡ b ≡ 1 (mod 3). En appliquant la conjecture de Szpiro généralisée, on obtient:

a^{2} ≤ b^{2} ≤ a^{2} + ab + b^{2} ≤ c_{1}(ε) (r(abc))^{2+ε} ,

et donc:

a ≤ b ≤ (c_{1}(ε))^{1/2} (r(abc))^{1+ε/2} ,

et finalement:

c ≤ c(ε′) (r(abc))^{1+ε′} .

Ceci prouve la conjecture abc. ■

Depuis sa formulation en 1985, peu de résultats théoriques ont été découverts sur la conjecture abc. Il n’existe actuellement que deux théorèmes la concernant. Ces deux théorèmes s’appuyent sur des méthodes utilisant des formes linéaires de logarithmes complexes et p-adiques. Nous donnons ici ces deux théorèmes. Leurs démonstrations se trouvent dans [Ste-Tij] et [Ste-Yu] respectivement.

Théorème 2. (Stewart, Tijdeman, 1986). Il existe une constante effectivement calculable k > 0 telle que, pour tout triplet (a, b, c) d’entiers positifs, vérifiant (a, b, c) = 1 et a + b = c, on ait:

c < exp {k (r(abc))^{15}} .

Théorème 3. (Stewart, Yu, 1990). Il existe une constante effectivement calculable k > 0 telle que, pour tout triplet (a, b, c) d’entiers positifs, vérifiant (a, b, c) = 1 et a+b = c, on ait:

c < exp {(r(abc))^{2/3+k/ log log r(abc)}} .

Il est clair que le théorème 3 améliore le théorème 2. Les inégalités dans ces deux théorèmes sont exponentielles en r(abc) alors que celle de la conjecture abc est seulement polynômiale. L’inégalité du théorème 3 implique que:

\frac{log log c}{log r(abc)} < \frac{2}{3} + \frac{k}{log log r(abc)}.

Il est à noter qu’aucun exemple numérique ne contredit l’inégalité ci dessus avec k = 0. Ainsi, l’exemple d’E. Reyssat a = 2, b = 3^{10}.109 et c = 23^{5} donne:

\frac{log log c}{log r(abc)} ≃ 0.28614 < 2/3.

Le meilleur exemple connu est certainement a = 1, b = 2.3^{7}, c = 5^{4}.7 qui donne:

\frac{log log c}{log r(abc)} ≃ 0.39765.

IV. Applications conjecturales

Dans cette partie, on étudie quelques conséquences des conjectures de Szpiro et de la conjecture abc. Quelques unes existaient déjà dans la littérature (2, 3, 4, 5 6, 7, 8, 10, 11, 22). Les nouvelles conséquences sont donc les suivantes: 1, 9, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 23. Dans ces applications conjecturales, nous citerons surtout la conjecture abc. Sauf mention contraire, toutes ces applications sont aussi des conséquences des conjectures de Szpiro.

1. Conséquences sur les triplets abc. Comme première application de la conjecture abc, nous avons la proposition suivante:

Proposition 8. Si la conjecture abc est vraie, alors pour tout ε > 0, il existe une constante c(ε) telle que pour tout triplet (x_{1}, x_{2}, x_{3}) d’entiers positifs, premiers entre eux et vérifiant x_{1} + x_{2} = x_{3}, on ait pour i = 1, i = 2 ou i = 3:

x_{i} ≤ c(ε) (r(x_{i}))^{3+ε} .

Preuve. Supposons que la conjecture abc est vraie. Alors pour i = 1, 2, 3, on a:

x_{i} ≤ c(ε) (r(x_{1}x_{2}x_{3}))^{1+ε} ,

et donc:

x_{1}x_{2}x_{3} ≤ (c(ε))^{3} (r(x_{1}x_{2}x_{3}))^{3+ε} .

Supposons que pour chaque i = 1, 2, 3 on ait:

x_{i} > c(ε) (r(x_{i}))^{3+ε} .

Alors:

x_{1}x_{2}x_{3} > (c(ε))^{3} (r(x_{1}x_{2}x_{3}))^{3+ε} ,

ce qui contredit la conjecture abc. ■

Nous avons aussi le théorème suivant:

Théorème 4. Si la conjecture abc est vraie, alors pour tout ε > 0, il existe une constante c_{0}(ε) > 0 telle que pour tout entier n ≥ 2 et tout entier x ≥ 2 on ait:

x^{n−1} ≤ c_{0}(ε) (r(x^{n} − 1))^{1+ε} .

Preuve. Soit ε fixé tel que 0 < ε < 1/2. Appliquons la conjecture abc à la relation (x^{n} − 1) + 1 = x^{n}. On obtient:

x^{n} ≤ c_{1}(ε) (r(x^{n} − 1))^{1+ε} x^{1+ε},

et ceci donne:

x^{n−1−ε} = (x^{n−1})^{1−ε/(n−1)} ≤ c_{1}(ε) (r(x^{n} − 1))^{1+ε} .

On a ensuite:

x^{n−1} ≤ (c_{1}(ε))^{(n−1)/(n−1−ε)} (r(x^{n} − 1))^{(n−1)(1+ε)/(n−1−ε)} .

Si ε est assez petit et si n ≥ 2, on a d’une part (n − 1)/(n − 1 − ε) < 2 et d’autre part:

\frac{(n − 1)(1 + ε)}{n − 1 − ε} ≤ \frac{1 + ε}{1 − ε} = 1 + ε′,

avec ε′ = 2ε/(1 − ε). On obtient finalement la conclusion du théorème. ■

Une autre conséquence de la conjecture abc est la proposition suivante:

Proposition 9. Soit (x_{1}, x_{2}, x_{3}) un triplet d’entiers positifs, non nécessairement premiers entre eux, vérifiant x_{1} < x_{2} < x_{3} et x_{1} + x_{2} = x_{3}. La conjecture abc implique que, pour i = 1, 2, 3:

x_{3} ≤ c(ε) (x_{i}r(x_{1}x_{2}x_{3}/x_{i}))^{1+ε} .

Preuve. Soit d = (x_{1}, x_{2}, x_{3}). Appliquons la conjecture abc au triplet (x_{1}/d, x_{2}/d, x_{3}/d). On obtient:

x_{3}/d ≤ c(ε) (r(x_{1}x_{2}x_{3}/d^{3}))^{1+ε} ≤ c(ε) (x_{i}/d)^{1+ε} (r(x_{1}x_{2}x_{3}/x_{i}))^{1+ε} ,

ce qui donne la conclusion de la proposition. ■

2. Les nombres de Wieferich. Un nombre premier p vérifiant la congruence:

(4)  a^{p−1} ≡ 1 (mod p^{2}),

avec a = 2 est appelé nombre de Wieferich. En 1909, celui-ci a montré que si un nombre premier p ne vérifie pas la congruence ci-dessus, alors il n’existe pas d’entiers x > 0, y > 0 et z > 0, premiers entre eux tels que xyz ≢ 0 (mod p) et x^{p} + y^{p} = z^{p} (premier cas du grand théorème de Fermat). En 1910, Mirimanoff a prouvé la même chose avec a = 3. Les nombres premiers vérifiant la congruence (4) sont très rares. Par exemple, les seuls nombres premiers p vérifiant cette congruence avec a = 2 et p ≤ 3×10^{10} sont 1093 et 3511. De même, les seuls vérifiant la congruence (4) avec a = 3 et p ≤ 2^{30} sont 11 et 1006003. Pour plus d’informations, on peut consulter [Rib3]ou [Mon]. Un problème encore ouvert est la conjecture suivante:

Conjecture 7. Soit a ≥ 2. Il existe une infinité de nombres premiers ne vérifiant pas la congruence (4).

J. H. Silverman a montré que cette conjecture est une conséquence de la conjecture abc. Pour cela, on a besoin du lemme suivant:

Lemme 1. Soient a et n des entiers positifs. Si un nombre premier p est tel que a^{n} ≡ 1 (mod p) et a^{n} ≢ 1 (mod p^{2}), alors il ne vérifie pas la congruence (4).

Preuve. Soit d l’ordre de a dans le groupe des éléments inversibles de ZZ /pZZ . On a a^{d} = 1 + pq et comme a^{n} ≡ 1 (mod p) et a^{n} ≢ 1 (mod p^{2}), alors d|n et a^{d} ≢ 1 (mod p^{2}) et donc (p, q) = 1. Maintenant on a:

a^{p−1} = (a^{d})^{(p−1)/d} = (1 + pq)^{(p−1)/d} ≡ 1 + pq(p − 1)/d (mod p^{2}),

avec (p, q(p − 1)/d) = 1. Il en résulte que a^{p−1} ≢ 1 (mod p^{2}). ■

Proposition 10. (Silverman) La conjecture abc implique la conjecture 7.

Preuve. Supposons qu’il n’y ait qu’un nombre fini de nombres premiers ne vérifiant pas la congruence (4). Soit a ≥ 2 un entier. On peut écrire pour tout entier positif n :

a^{n} − 1 = a_{n}b_{n}

où a_{n} est la partie qui contient tous les nombres premiers qui divisent a^{n} − 1 et qui ne vérifient pas (4) et où b_{n} = (a^{n} − 1)/a_{n}. Si p|b_{n}, alors p vérifie:

a^{p−1} ≡ 1 (mod p^{2})

et par le lemme 1, p^{2}|a^{n} − 1. Alors p^{2}|b_{n} et donc b_{n} vérifie r(b_{n}) ≤ b_{n}^{1/2}. En appliquant la conjecture abc au triplet (1, a^{n} − 1, a^{n}) on obtient, sachant que r(a_{n}) est borné:

a_{n}b_{n} ≤ c_{1}(ε) (r(aa_{n}b_{n}))^{1+ε} ≤ c_{2}(ε)b_{n}^{(1+ε)/2},

et donc:

a_{n}b_{n}^{(1−ε)/2} ≤ c_{2}(ε).

Si ε est assez petit, l’inégalité ci-dessus devient impossible pour les grandes valeurs de n, ce qui prouve donc la proposition 10. ■

3. Le théorème de Faltings et la conjecture de Mordell. Une des conséquences les plus étonnantes de la conjecture abc est le fait que celle-ci implique tout simplement le théorème de Faltings (ex conjecture de Mordell) sur Q :

Théorème 5. (Faltings). Toute courbe de genre g ≥ 2 définie sur Q n’admet qu’un nombre fini de points rationnels.

Cette conjecture à été démontrée successivement par G. Faltings, P. Vojta et E. Bombieri. Ces démonstrations sont toutefois assez compliquées contrairement à la démonstration obtenue par N. Elkies en 1991 (voir [Elk]) en supposant vraie la conjecture abc:

Théorème 6. (Elkies). La conjecture abc implique la conjecture de Mordell.

La preuve de ce théorème a pour point de départ un théorème de Belyi et utilise des propriétés élémentaires des hauteurs des points rationnels des courbes définies sur un corps de nombres. Elkies donne à la fin de son article le corollaire suivant:

Corollaire 1. (Elkies). La conjecture abc implique que pour tout ε > 0 et tout polynôme P ∈ ZZ [X, Y], homogène, de degré d et sans facteurs carrés, il existe une constante c(ε, P) > 0 telle que pour tout couple (a, b) d’entiers premiers entre eux, vérifiant P (a, b) ≠ 0 on ait:

sup (|a|, |b|)^{d−2} ≤ c(ε, P)r (P (a, b))^{1+ε} .

4. Le dernier théorème de Fermat. En 1637, Fermat a énoncé une assertion qui est encore sans preuve. Cette assertion porte le nom de “Grand Théorème de Fermat”, mais en fait c’est une conjecture. Pour plus d’informations, on peut consulter par exemple le livre de P. Ribenboim [Rib1]. En juin 1993, A. Wiles surprena les spécialistes de la question en annonçant la résolution de la conjecture de Fermat. Actuellement, cette affirmation n’est pas encore confirmée. Par rapport au travail de Wiles, qui traite le théorème de Fermat dans sa généralité, la proposition suivante ne concerne que le cas asymptotique, et se distingue par sa simplicité, en admettant la conjecture abc ou l’une des conjectures de Szpiro.

Proposition 11. La conjecture abc entraîne le théorème de Fermat pour les grandes valeurs de n.

Preuve. Supposons qu’il existe des entiers x, y, z et n vérifiant n ≥ 3, xyz ≠ 0,(x, y) = 1 et

x^{n} + y^{n} = z^{n}.

En appliquant la conjecture 4 (ou la conjecture abc trois fois) au triplet (a, b, c) defini par a = x^{n}, b = y^{n} et c = −z^{n}, on obtient:

|xyz|^{n} ≤ c(ε) (r(xyz))^{3+ε} ≤ c(ε)|xyz|^{3+ε},

ce qui donne:

(n − 3 − ε) log |xyz| ≤ log c(ε).

Prenons ε tel que 0 < ε < 1. Si n ≥ 4, alors l’inégalité ci-dessus implique d’une part:

n − 3 − ε ≤ \frac{log c(ε)}{log |xyz|} ≤ \frac{log c(ε)}{log 6}

et donc n est borné. ■

Remarque. De la dernière inégalité de la proposition ci-dessus, on tire pour les solutions éventuelles de l’équation de Fermat avec n ≥ 4:

log |xyz| ≤ \frac{log c(ε)}{n − 3 − ε} ≤ \frac{log c(ε)}{1 − ε},

ce qui montre que les solutions sont bornées. La conjecture 4 implique que pour n assez grand, le problème de Fermat n’a pas de solutions, et que pour les petites valeurs de n ≥ 4, il n’a qu’un nombre fini de solutions. En comparaison, le théorème de Faltings, entraîne la finitude du nombre de solutions du problème de Fermat pour n fixé, mais ne donne aucune indication sur une limite possible pour n. ■

5. La conjecture d’Erdös-Woods. Commençons d’abord par énoncer cette conjecture.

Conjecture 8. (Erdös-Woods). Il existe une constante k > 0 telle que pour tous les entiers positifs x et y, si r(x + i) = r(y + i) pour tout i, i = 1, 2, …, k, alors x = y.

Cette conjecture implique qu’il existe une constante k > 0, telle que le système d’équations diophantiennes

r(x + i) = r(y + i), i = 1, ⋯, k,

en entiers positifs x et y n’admet que des solutions vérifiant x = y. Il est facile de voir que la constante k ne peut pas être égale à 2, car en prenant x = 74 et y = 1214, on a x + 1 = 3 · 5^{2}, y + 1 = 3^{5}.5 et x + 2 = 2^{2} · 19, y + 2 = 2^{6} · 19.

D’autres contre exemples sont donnés par les couples (x_{n}, y_{n}), définis pour tout n ≥ 2 par:

x_{n} = 2^{n} − 3, y_{n} = 2^{2n} − 2^{n+1} − 1.

Par contre pour k ≥ 3, aucun exemple d’entiers différents vérifiant les égalités de la conjecture d’Erdös-Woods n’est connu. Un résultat parfaitement établi qui va dans le sens de cette conjecture avec k ≥ 3 (valable aussi avec k = 2) est le suivant.

Théorème 7. Soit k ≥ 2 un entier fixé. Pour tout entier positif x, il n’existe au plus qu’un nombre fini d’entiers positifs y vérifiant pour tout i, 1 ≤ i ≤ k, r(x + i) = r(y + i).

Preuve. Soient x et y deux entiers positifs vérifiant les hypothèses du théorème. Posons x + 1 = p_{1}^{e_{1}} ⋯ p_{r}^{e_{r}} où pour tout i, 1 ≤ i ≤ r, p_{i} est un nombre premier et e_{i} est un entier positif. Alors y + 1 = p_{1}^{e′_{1}} ⋯ p_{r}^{e′_{r}} pour des entiers strictement positifs e_{i}. Posons de même x + 2 = q_{1}^{f_{1}} ⋯ q_{s}^{f_{s}}, alors y + 2 = q_{1}^{f′_{1}} ⋯ q_{s}^{f′_{s}}. La relation (y + 2) − (y + 1) = 1 donne:

q_{1}^{f′_{1}} ⋯ q_{s}^{f′_{s}} − p_{1}^{e′_{1}} ⋯ p_{r}^{e′_{r}} = 1.

Comme x est fixé, les nombres premiers p_{i} et q_{j} sont aussi fixés, et l’équation ci-dessus en entiers e′_{i} et f′_{j} n’admet qu’un nombre fini de solutions d’après le théorème de Mahler relatif aux équations en S-entiers. ■

Nous allons voir maintenant que la conjecture abc permet de répondre positivement à la conjecture d’Erdös-Woods avec k = 3, sauf dans un nombre fini de cas. On peut retrouver ce résultat dans [Lange2].

Proposition 12. (Langevin) La conjecture abc implique que la conjecture d’Erdös - Woods est vraie avec k = 3, sauf peut être pour un nombre fini d’exceptions pour x et y.

Preuve. Soient x et y deux entiers strictement positifs. Supposons que x < y et que pour i = 1, 2, 3, on ait r(y + i) = r(x + i)|(x + i). Alors r((y + i))|(y − x). Il en résulte que

r((y + 1)(y + 2)(y + 3))|(y − x).

Appliquons la conjecture abc à la relation

1 + (y + 1)(y + 3) = (y + 2)^{2}.

On obtient:

y^{2} < (y + 2)^{2} ≤ c(ε) (r((y + 1)(y + 2)(y + 3)))^{1+ε} ≤ c(ε)(y − x)^{1+ε} < c(ε)y^{1+ε},

et donc

y^{1−ε} < c(ε).

Alors pour ε assez petit, ceci implique que y est borné. Autrement dit, pour tout ε > 0, il existe une constante positive c_{0}(ε), ne dépendant que de ε telle que si deux entiers x et y vérifient r(x + i) = r(y + i), i = 1, 2, 3 et si y > c_{0}(ε), alors x = y. Ainsi la conjecture d’Erdös-Woods est vraie sauf peut être pour les entiers x et y tels que x, y ≤ c_{0}(ε). ■

6. La conjecture de Hall. En 1971, M. Hall Jr. a énoncé la conjecture suivante:

Conjecture 9. (Hall). Il existe une constante c > 0 telle que pour tous entiers x > 1 et y > 0 vérifiant x^{3} ≠ y^{2} on ait:

|x^{3} − y^{2}| ≥ c max(x^{3}, y^{2})^{1/6}.

On sait par exemple depuis 1738 (Euler), que les seules solutions non triviales de l’équation |x^{3} − y^{2}| = 1 sont (x, y) = (±2, ±3). Cette conjecture implique que le rapport

\frac{|x^{3} − y^{2}|}{max(x^{3}, y^{2})^{1/6}}

ne peut pas être très petit. Dans la table 3, nous avons classé quelques exemples pour lesquels le rapport ci-dessus est assez petit. Ces exemples correspondent à x ≤ 10^{10} et y = [x\sqrt{x}] et sont classés par ordre croissant de la dernière colonne.

Table 3

Nr x  y  x^{3} − y^{2} \frac{|x^{3}−y^{2}|}{max(x^{3},y^{2})^{1/6}}

1 28187351 149651610621 −1090 0.205305
2 5234  378661  −17  0.234981
3 939787  911054064  +307  0.316682
4 2  3  −1  0.707107
5 390620082 7720258643465 −14857 0.75171
6 110781386 1166004406095 −8569 0.814136
7 421351  273505487  −618  0.952065
8 93844  28748141  −297  0.969512

Une forme plus faible de la conjecture de Hall est la suivante:

Conjecture 10. Pour tout ε > 0, il existe une constante c(ε) > 0 telle que pour tous les entiers x > 1 et y > 0 on ait:

|x^{3} − y^{2}| ≥ c(ε) max(x^{3}, y^{2})^{1/6−ε}.

On va montrer que cette forme peut être une conséquence de la conjecture abc, via la conjecture de Szpiro généralisée.

Proposition 13. La conjecture abc implique la conjecture 10.

Preuve. Supposons d’abord que (x, y) = 1. Appliquons la conjecture 3 à la relation x^{3} − y^{2} = k. On obtient:

x ≤ c_{1}(ε) (r(k))^{2+ε} ≤ c_{1}(ε) (|k|)^{2+ε} .

Alors:

|k| ≥ c_{2}(ε)x^{1/(2+ε)} = c_{3}(ε′)x^{1/2−ε′},

en prenant ε′ = \frac{ε}{2(2 + ε)}. Par le même raisonnement, on obtient:

|k| ≥ c_{4}(ε′)y^{1/3−ε′},

puis l’inégalité de la conjecture 10 lorsque (x, y) = 1. Cette inégalité reste valable si on la multiplie par un entier positif quelconque, ce qui donne le cas général. ■

7. L’équation de Mordell. Soit k un entier non nul. L’équation:

x^{3} − y^{2} = k,

appelée équation de Mordell n’admet qu’un nombre fini de solutions entières. En 1968, A. Baker a montré que ces solutions vérifient:

log max(|x|, |y|) < 10^{10}|k|^{10^{4}}.

Cette borne a été ensuite améliorée en 1973 par H. Stark (voir [Sta]), qui a énoncé le théorème suivant:

Théorème 8. (Stark). Pour tout ε > 0, il existe une constante c(ε) > 0 telle que pour tout entier non nul k, toute solution entière de l’équation x^{3} − y^{2} = k vérifie:

log max(|x|, |y|) ≤ c(ε)|k|^{1+ε}.

En 1982, V. G. Sprindzuk, a démontré quand à lui qu’il existe une constante absolue c > 0 telle que les solutions de l’équation de Mordell vérifient:

log max(|x|, |y|) ≤ c|k|(log |k| + 1)^{6}.

Les bornes données par Baker, Stark et Sprindzuk sont cependant très grandes par rapport à ce que peut donner la conjecture abc.

Proposition 14. La conjecture abc implique que pour tout ε > 0, il existe une constante c(ε) > 0 telle que pour tout entier non nul k, toute solution entière de l’équation x^{3}−y^{2} = k vérifie:

max(|x|^{3}, y^{2}) ≤ c(ε)|k|^{6+ε}.

Preuve. La conjecture abc implique, via la conjecture 10, que:

|x| ≤ c_{1}(ε) (|k|)^{2+ε}  et  |y| ≤ c_{2}(ε) (|k|)^{3+ε} ,

d’où la conclusion de la proposition. ■

Remarque. La borne qui figure dans cette proposition n’est pas très grande si on la compare aux bornes de Baker et de Stark. On peut illustrer ce fait en considérant le meilleur exemple pour la conjecture de Hall, tiré de la table 3:

28187351^{3} − 149651610621^{2} = −1090.

Soit ε > 0 donné. L’inégalité du théoréme de Stark donne:

149651610621 ≤ exp (1090^{1+ε}c(ε)) ,

avec exp(1090) ≃ 2, 4 × 10^{473}. La conjecture abc, via la conjecture 10 donne:

149651610621 ≤ 1090^{3+ε}c(ε),

avec seulement 1090^{3} ≃ 1.3 × 10^{9}. ■

8. La conjecture de Pillai. Cette conjecture date de 1945. Elle concerne une classe d’équations diophantiennes.

Conjecture 11. (Pillai). Soient A > 0, B > 0 et k des entiers, l’équation:

Ax^{m} − By^{n} = k

n’a qu’un nombre fini de solutions en entiers x > 1, y > 1, m > 1, n > 1 avec mn > 4.

Lorsque A = 1, B = 1 et k = 1, cette conjecture s’appelle la conjecture de Catalan, qui, conjecture en plus que la seule solution est (x, y, m, n) = (3, 2, 2, 3). R. Tijdeman a démontré en 1976 que la conjecture de Pillai est vraie dans le cas A = B = k = 1 (voir [Sho-Tij]). La conjecture abc répond positivement à la conjecture de Pillai.

Proposition 15. La conjecture abc implique la conjecture de Pillai.

Preuve. Tous les entiers qui figurent dans cette preuve sont positifs. Soit d = (Ax^{m}, By^{n}, k). Appliquons la conjecture abc au triplet (Ax^{m}/d, By^{n}/d, k/d). On obtient:

Ax^{m}/d, By^{n}/d ≤ c_{1}(ε) (r (ABkx^{m}y^{n}/d^{3}))^{1+ε} ,

ce qui donne:

(5)  Ax^{m}, By^{n} ≤ c_{1}(ε) (dr (ABkx^{m}y^{n}/d^{3}))^{1+ε} ≤ c_{2}(ε, A, B, k) (xy)^{1+ε} ,

puis

x^{m}, y^{n} ≤ c_{3}(ε, A, B, k) (xy)^{1+ε} .

Supposons par exemple que x^{m} ≤ y^{n}, alors (5) devient:

y^{n} ≤ c_{3}(ε, A, B, k)y^{(1+ε)(1+n/m)},

puis:

(6)  (y^{n})^{1−(m^{−1}+n^{−1})(1+ε)} ≤ c_{3}(ε, A, B, k).

Puisque m ≥ 2, n ≥ 2 et mn ≥ 6, alors m^{−1} + n^{−1} ≤ 5/6 et donc pour ε assez petit, (m^{−1} + n^{−1}) (1 + ε) < 1. L’inégalité (6) implique alors que y et n sont bornés et donc que x et m le sont aussi. ■

9. Un cas particulier de l’équation de Pell. La conjecture de Pillai exclut le cas (m, n) = (2, 2). Soient A > 0, B et k des entiers premiers entre eux. Considérons l’équation:

Ax^{2} − By^{2} = k,

en entiers x ≠ 0, y ≠ 0 tels que r(y) est borné (c’est le cas si r(y)|B).

Proposition 16. La conjecture abc implique que l’équation de Pell ci-dessus n’admet qu’un nombre fini de solutions telles que r(y) soit borné .

Preuve. Soit d = (Ax^{2}, By^{2}). Appliquons la conjecture abc au triplet (Ax^{2}/d, By^{2}/d, k/d). On obtient:

Ax^{2}/d ≤ c_{1}(ε) (r(ABkx^{2}y^{2}/d^{3}))^{1+ε} ,

puis

Ax^{2} ≤ c_{1}(ε) (d(k/d)r(ABx^{2}y^{2}/d^{2}))^{1+ε} ≤ c_{1}(ε) (kABr(xy))^{1+ε} .

Alors:

x^{2} ≤ c_{2}(ε, A, B, k) (|x|)^{1+ε} (r(y)^{1+ε},

et donc

|x|^{1−ε} ≤ c_{2}(ε, A, B, k)(r(y))^{1+ε}.

Ceci montre donc que |x| est borné, puisque (r(y) l’est. ■

Remarque. C. Störmer [Stö1] a démontré en 1897 que dans le cas A = 1, B > 0, k = −1 et r(y)|B, l’équation de Pell ci-dessus admet au plus une solution. ■

10. L’ équation de Fermat généralisée. La conjecture abc et les conjectures de Szpiro, via la conjecture 4, s’appliquent particulièrement aux équations diophantiennes à trois termes. En voici un exemple.

Théorème 9. Si la conjecture abc est vraie et si A, B, C sont des entiers strictement positifs, alors l’équation:

Ax^{l} + By^{m} = Cz^{n},

en entiers positifs x, y, z, l, m, n n’admet qu’un nombre fini de solutions vérifiant l^{−1} + m^{−1} + n^{−1} < 1 et (x, y, z) = 1.

Preuve. Supposons que (x, y, z) = 1. Si z = 1, on a la conclusion de la conjecture de Pillai. Supposons donc que z ≥ 2. Soit d = (Ax^{l}, By^{m}, Cz^{n}). Alors d est borné. En appliquant la conjecture abc au triplet (Ax^{l}/d, By^{m}/d, Cz^{n}/d), on obtient:

Cz^{n}/d ≤ c_{1}(ε) (r(ABCx^{l}y^{m}z^{n}/d^{3}))^{1+ε} ,

d’où l’on tire:

z^{n} ≤ c_{1}(ε)/C (dr(ABCx^{l}y^{m}z^{n}/d^{3}))^{1+ε} ≤ c_{2}(ε, A, B, C) (xyz)^{1+ε} .

Puisque Ax^{l} < Cz^{n} et By^{m} ≤ Cz^{n}, alors x < c_{3}(A, C)z^{n/l} et y < c_{4}(B, C)z^{n/m}. Ainsi

z^{n} ≤ c_{5}(ε, A, B, C) (z^{n})^{(1+ε)(l^{−1}+m^{−1}+n^{−1})} ,

ce qui donne :

(z^{n})^{1−(1+ε)(l^{−1}+m^{−1}+n^{−1})} ≤ c_{4}(ε, A, B, C).

Si l^{−1} + m^{−1} + n^{−1} < 1 et si ε est assez petit, alors 1 − (1 + ε) (l^{−1} + m^{−1} + n^{−1}) > 0 est donc z^{n} est borné. Ainsi z, x, y, l, m, n sont bornés. ■

Remarque. R. Tijdeman [Tij] affirme ne connaître que les deux solutions:

\begin{matrix}13^{2} + 7^{3} = 2^{9}, \\ 17^{3} + 2^{7} = 71^{2}, \end{matrix}

pour l’équation:

x^{l} + y^{m} = z^{n},

en entiers positifs x, y, z, l > 0, m > 0, n > 0 avec l^{−1} + m^{−1} + n^{−1} < 1. En voici deux autres:

\begin{matrix}2^{5} + 7^{2} = 3^{4}, \\ 3^{5} + 11^{4} = 2^{2}.61^{2}. \end{matrix}

Ces exemples ont été déterminé comme sous-produits de la recherche de bons exemples pour les conjectures de Szpiro et la conjecture abc. ■

11. La conjecture de Shorey-Tijdeman. Dans la page 202 de leur livre “Exponential Diophantine Equations”, Shorey et Tijdeman [Sho-Tij] proposent la conjecture suivante:

Conjecture 12. L’équation diophantienne

(\frac{x}{v})^{m} − (\frac{y}{w} )^{n} = 1,

n’admet qu’un nombre fini de solutions en entiers positifs v, w, x, y, m > 1 et n > 1 vérifiant (x, v) = 1, (y, w) = 1 et mn > 4.

Si l’une des variables v, w, x ou y est composée de nombres premiers fixés, cette conjecture est vraie ([Sho-Tij], p. 202). La conjecture abc peut répondre affirmativement à la conjecture de Shorey et Tijdeman avec une condition supplémentaire sur les exposants m et n.

Proposition 17. La conjecture abc implique la conjecture 12.

Preuve. Supposons que (v, x) = (w, y) = 1. Si v = 1, alors w = 1 et la proposition découle de l’équation de Catalan. Supposons donc que v > 1 et w > 1. De l’égalité:

(7)  w^{n}x^{m} − v^{m}y^{n} = v^{m}w^{n},

on tire d’une part w^{n}x^{m} = v^{m}(w^{n} + y^{n}) et donc v^{m}|w^{n}, et d’autre part v^{m}y^{n} = w^{n}(x^{m} − v^{m}) et donc w^{n}|v^{m}. Ainsi on a v^{m} = w^{n} et donc il existe un entier z > 1 tel que v^{m} = w^{n} = z^{<m,n>} où < m, n > désigne le plus petit multiple commun de m et de n. En simplifiant l’égalité (7) par z^{<m,n>}, on obtient la relation:

x^{m} − y^{n} = z^{<m,n>},

qui, d’après le théorème 9 n’admet qu’un nombre fini de solutions qui vérifient l’inégalité m^{−1} + n^{−1} + (< m, n >)^{−1} < 1. Cette dernière condition est réalisée si m ≥ 2, n ≥ 2 et mn > 4 sauf pour (m, n) = (2, 3), (3, 2), (3, 3), (2, 4), (4, 2). Considérons ces cas particuliers:

- Si (m, n) = (2, 3), on peut transformer l’équation x^{2} − y^{3} = z^{6} en la courbe elliptique Y^{2} = X^{3} + 1 qui n’admet qu’un nombre fini de points rationnels.

- Si (m, n) = (3, 2), on aboutit à la courbe elliptique Y^{2} = X^{3} − 1 qui n’admet aussi qu’un nombre fini de points rationnels.

- Si (m, n) = (3, 3), l’équation x^{3} − y^{3} = z^{3} n’a pas de solution non triviale (Théorème d’Euler).

- Si (m, n) = (2, 4), l’équation x^{2} − y^{4} = z^{4} n’a pas de solution non triviale ([Mord], p. 16).

- Si (m, n) = (4, 2), l’équation x^{4} − y^{2} = z^{4} n’a pas de solution non triviale ([Mord], p. 17). ■

12. Une équation en S-entiers. Soient p_{1}, ⋯ p_{s} des nombres premiers distincts. On considère l’équation diophantienne

p_{1}^{l_{1}}p_{2}^{l_{2}} … p_{s}^{l_{s}} ± p_{1}^{m_{1}}p_{2}^{m_{2}} … p_{s}^{m_{s}} = y^{n},

en entiers positifs y, n, l_{1}, ⋯,l_{s}, m_{1}, ⋯, m_{s} avec pour tout i, l_{i}m_{i} = 0.

Proposition 18. La conjecture abc entraîne que l’équation ci-dessus n’admet qu’un nombre fini de solutions avec y > 1 et n ≥ 2.

Preuve. Appliquons la conjecture abc à la relation

p_{1}^{l_{1}}p_{2}^{l_{2}} … p_{s}^{l_{s}} ± p_{1}^{m_{1}}p_{2}^{m_{2}} … p_{s}^{m_{s}} = y^{n}.

On obtient:

y^{n} ≤ c_{1}(ε)(p_{1} … p_{s})^{1+ε}y^{1+ε},

et donc:

y^{n−1−ε} ≤ c_{2}(ε, p_{1}, ⋯, p_{s}).

Ceci montre que si y > 1, n et y sont bornés et que les l_{i} et m_{i} le sont aussi. ■

13. Quelques conjectures sur les nombres puissants. Commençons par donner la définition d’un nombre puissant:

Définition 3. Un entier n est un nombre puissant si:

(r(n))^{2} |n.

Il est évident que tout nombre puissant n s’écrit de façon unique sous la forme n = a^{2}b^{3}, où b est sans facteurs carrés. D’autre part, le radical r(n) d’un nombre puissant vérifie r(n) ≤ n^{1/2}. Cette propriété du radical sera utilisée abondamment dans ce paragraphe. Dans [Rib2], P. Ribenboim étudie le lien entre les nombres puissants et le dernier théorème de Fermat. Il étudie aussi quelques conjectures relatives à ces nombres. Ces conjectures étant nombreuses, nous nous contentons de trois d’entre elles, et nous montrons qu’elles sont parfois des conséquences de la conjecture abc. Certaines de ces conjectures se trouvent aussi dans [Guy] (B 16).

Conjecture 13. (Erdös-Mollin-Walsh). Il n’y a aucun triplet de nombres puissants consécutifs.

Cette conjecture implique en particulier qu’il existe une infinité de nombres premiers p tels que

2^{p−1} ≢ 1 (mod p^{2}),

ce qui fait apparaître un lien avec le premier cas du dernier théorème de Fermat (voir conjecture 7 ou [Rib2]). La conjecture abc ne permet pas de répondre catégoriquement à la conjecture 13, mais permet d’avoir ceci:

Proposition 19. La conjecture abc implique qu’il n’y a qu’un nombre fini de triplets de nombres puissants consécutifs.

Preuve. Si 1 < a < b < c sont trois nombres consécutifs, alors ils vérifient la relation:

b^{2} = ac + 1.

Supposons que les nombres a, b , c sont puissants. En appliquant la conjecture abc à cette relation, on obtient:

b^{2} ≤ c(ε)(r(abc))^{1+ε} ≤ c(ε)(abc)^{(1+ε)/2} ≤ c(ε)b^{3(1+ε)/2},

d’où:

b^{(1−3ε)/2} ≤ c(ε).

Ainsi, si ε est assez petit, b, puis a et c sont bornés. ■ La conjecture suivante concerne des nombres généralisant les nombres de Fermat et de Mersenne: Conjecture 14. Pour tout entier k ≥ 2, soit n_{k} le nombre puissant le plus proche de 2^{k} avec n_{k} ≠ 2^{k}. Alors lim_{k→∞} |2^{k} − n_{k}| = +∞. Nous avons alors la conséquence suivante de la conjecture abc. Proposition 20. La conjecture abc implique la conjecture 14. Preuve. Soit k ≥ 2. Il est évident que le nombre puissant n_{k} le plus proche et distinct de 2^{k} est de la forme n_{k} = 2^{s}n′_{k} avec s = 0 ou 1 < s < k et où n′_{k} est un nombre puissant impair. On considère alors la relation:

2^{k−s} − n_{k}/2^{s} = z.

Appliquons la conjecture abc à cette relation. On obtient:

n_{k}/2^{s} ≤ c(ε) (r(n_{k}z/2^{s}))^{1+ε} .

Alors:

n_{k} ≤ c(ε) (2^{s}zr(n_{k}/2^{s}))^{1+ε} ≤ c(ε)|2^{k} − n_{k}|^{1+ε}n_{k}^{(1+ε)/2},

et donc:

n_{k}^{(1−ε)/2} ≤ c(ε)|2^{k} − n_{k}|^{1+ε}.

Remarquons d’abord que lim_{k→∞} n_{k} = ∞. En fixant ε assez petit, on obtient la conclusion de la conjecture 14 en faisant tendre k vers l’infini. ■ La conjecture suivante concerne directement les nombres de Fermat et de Mersenne. Conjecture 15. Il existe une infinité de nombres de Fermat et de Mersenne qui ne sont pas des nombres puissants. Nous avons de même la conséquence suivante. Proposition 21. La conjecture abc implique la conjecture 15.

Preuve. Il suffit de montrer que la conjecture abc implique qu’ il n’existe qu’un nombre fini de nombres de Fermat et de Mersenne qui sont des nombres puissants. Plus généralement, considérons l’équation diophantienne:

2^{k} ± 1 = z,

en entiers k ≥ 1 et en nombre puissant z. D’après la proposition 20, cette équation n’admet qu’un nombre fini de solutions. Les nombres de Fermat et de Mersenne étant en nombre infini, ceci termine la preuve de la proposition. ■

Pour terminer cette partie, citons la conjecture suivante sur les nombres 4-puissants et qui sont des entiers n tels que r(n)^{4}|n (voir problème B 16 de [Guy]).

Conjecture 13. (Erdös) L’équation

x + y = z,

n’admet qu’un nombre fini de solutions en entiers positifs 4-puissants x, y et z premiers entre eux.

Il est alors facile de voir que cette conjecture est une conséquence de la conjecture abc.

Proposition 22. La conjecture abc implique la conjecture 16.

Preuve. Appliquons la conjecture abc au triplet (x, y, z) de nombres 4-puissants vérifiant (x, y, z) = 1 et x + y = z. On obtient:

z ≤ c(ε) (r(xyz))^{1+ε} ≤ c(ε)(xyz)^{(1+ε)/4} ≤ c(ε)z^{3(1+ε)/4}.

Finalement:

z^{(1−3ε)/4} ≤ c(ε),

et donc z est borné, d’où la conclusion de la conjecture 16. ■

14. La conjecture de Calderbank. En 1982, R. Calderbank avait proposé la conjecture suivante.

Conjecture 17. (Calderbank). Pour tout entier q ≠ 3 de la forme q = p^{k} où p est un nombre premier et où k ≥ 1, l’équation diophantienne

y^{2} = 4q^{n} + 4q + 1,

en entiers y ≥ 1 et n ≥ 2 n’admet que la solution (y, n) = (2q + 1, 2).

Plusieurs travaux ont montré que cette conjecture est vraie pour des valeurs particulières de q. Par exemple, N. Tzanakis et J. Wolfskill [Tza-Wol] l’ ont montré pour q = 3^{k} avec k ≥ 2. Ils ont montré aussi que l’équation de Calderbank n’a pas de solutions avec n ≥ 3 si q est un carré parfait et qu’elle admet au plus une solution avec n ≥ 3 si q = p^{k} > 200. Mais dans le cas général, la conjecture de Calderbank n’est pas démontrée. La conjecture abc peut aussi être appliquée à la conjecture de Calderbank, mais ne peut pas la confirmer totalement. Elle implique tout simplement que l’équation de Calderbank n’a qu’un nombre fini de solutions avec n ≥ 3, sans se soucier de la nature de q.

Proposition 23. La conjecture abc implique que l’équation

y^{2} = 4q^{n} + 4q + 1,

en entiers y ≥ 1, q ≥ 2 et n ≥ 3 n’admet qu’un nombre fini de solutions.

Preuve. Appliquons la conjecture abc au triplet (y^{2}, 4q^{n}, 4q + 1). On obtient:

y^{2} ≤ c_{1}(ε)(q(4q + 1)y)^{1+ε}.

L’inégalité q^{n} < y^{2} donne q < y^{2/n} et donc 4q + 1 < 5y^{2/n}. Alors

y^{2−(1+4n^{−1})(1+ε)} ≤ c_{2}(ε).

Pour ε assez petit et pour n ≥ 5, ceci montre que y est borné. La relation y^{2} = 4q^{n} +4q +1 montre alors que n et q sont bornés. Il reste à considérer les cas n = 3 et n = 4. Le théorème de Siegel (voir [Sil-Tat], p. 146) assure la finitude du nombre de solutions en entiers de l’équation dans ces cas là. ■

Remarque. Soient a, b, c, d des entiers non nuls. Suivant le même principe, on peut montrer que la conjecture abc implique que l’équation diophantienne

ay^{2} = bq^{n} + cq + d,

n’admet qu’un nombre fini de solutions en entiers y ≥ 1, q ≥ 2 et n ≥ 3.

15. Le problème de Brocard. Récemment (mai 1993), M. Overholt ([Ove]) a montré que les conjectures de Szpiro impliquent que l’équation:

x! + 1 = y^{2},

n’a qu’un nombre fini de solutions x > 0 et y > 0. Déterminer les solutions de cette équation a été soulevé par H. Brocard en 1876. On peut généraliser ce résultat en appliquant cette fois la conjecture abc pour montrer que l’équation

(8)  (x!)^{n} + 1 = y^{m},

en entiers x > 0, y > 0, n > 0 et m > 1 n’a qu’un nombre fini de solutions. On aura besoin des deux inégalités suivantes, déduites respectivement des formules de Stirling et de Chebytshev ([Ni-Zu-Mo], p. 374) et qui sont vérifiées pour tout entier positif x:

(9)  \{ \begin{matrix}(x/e)^{x} < x!, \\ ∏_{p≤x}p < 4^{x}, p premier. \end{matrix}

Proposition 24. La conjecture abc implique que l’équation (8) n’a qu’un nombre fini de solutions x > 0, y > 0, n ≥ 1 et m ≥ 2.

Preuve. Appliquons la conjecture abc au triplet ((x!)^{n}, 1, y^{m}). On obtient:

(x!)^{n} ≤ c_{1}(ε) (r(y(x!)))^{1+ε} ≤ c_{1}(ε) (yr(x!))^{1+ε} .

En utilisant l’inégalité y^{m} ≤ 2(x!)^{n}, on obtient:

(x!)^{n} ≤ c_{2}(ε) ((x!)^{n/m})^{1+ε} (∏_{p≤x} p)^{1+ε} ,

ce qui donne:

((x!)^{n})^{1− \frac{(1+ε)}{m}} ≤ c_{2}(ε) (∏_{p≤x} p)^{1+ε} .

En utilisant les inégalités (9), on obtient:

((x/e)^{nx})^{1− \frac{1+ε}{m}} ≤ c_{2}(ε)4^{x(1+ε)},

d’où:

((x/e)^{n})^{1− \frac{1+ε}{m}} ≤ c_{3}(ε)4^{(1+ε)}.

Il en résulte alors pour ε assez petit et pour m ≥ 2 que x est borné. Si x = 2, alors il n’y a qu’un nombre fini de solutions pour l’équation (8) avec m ≥ 2. Maintenant pour m ≥ 2 et x ≥ 3, l’inégalité ci-dessus implique que x et n, puis y et m sont bornés. ■

Remarque. Je ne connais que les solutions suivantes de l’équation (7):

\begin{matrix}4! + 1 = 5^{2}, 5! + 1 = 11^{2}, \\ 7! + 1 = 71^{2}, (2!)^{3} + 1 = 3^{2}. \end{matrix}

16. La conjecture d’Erdös-Stewart. Soit p_{1}, p_{2}, ⋯, p_{k}, ⋯ la suite croissante des nombre premiers. Dans [Guy] (p. 6), P. Erdös et C.L. Stewart proposent la conjecture suivante:

Conjecture 18. (Erdös-Stewart). L’équation

n! + 1 = p_{k}^{a}p_{k+1}^{b},

en entiers n, a ≥ 0, b ≥ 0 et p_{k−1} ≤ n < p_{k} n’admet que les solutions 1!+1 = 2, 2!+1 = 3, 3! + 1 = 7, 4! + 1 = 5^{2} et 5! + 1 = 11^{2}.

La conjecture abc répond partiellement à cette conjecture.

Proposition 25. La conjecture abc entraîne qu’il n’y a qu’un nombre fini de solutions pour la conjecture d’Erdös-Stewart.

Preuve. Appliquons la conjecture abc au triplet (n!, 1, p_{k}^{a}p_{k+1}^{b}). On obtient:

(10)  n! ≤ c_{1}(ε) (r(n!p_{k}p_{k+1}))^{1+ε} ≤ c_{1}(ε) ( ∏_{p≤p_{k+1}} p)^{1+ε} .

En utilisant les inégalités (9) et le postulat de Bertrand qui permet d’avoir p_{k+1} < 2p_{k} < 4p_{k−1} ≤ 4n, (10) devient:

(n/e)^{n} ≤ c_{1}(ε)4^{(1+ε)p_{k+1}} ≤ c_{1}(ε)4^{4(1+ε)n}.

Alors n/e ≤ c_{2}(ε)4^{4(1+ε)}, ce qui implique que n est borné. ■

On peut généraliser la conjecture d’Erdös-Stewart par la conjecture suivante, et il est facile de montrer que c’est une conséquence de la conjecture abc, sauf pour un nombre fini de cas.

Conjecture 17. Soit u un entier donné. L’équation

n! + 1 = p_{k}^{a}p_{k+1}^{b},

n’admet qu’un nombre fini de solutions en entiers n ≥ 2, a, b ≥ 0 et en nombres premiers p_{k} et p_{k+1} vérifiant p_{k−u} ≤ n < p_{k}.

17. Un problème de Ghandi. J. M. Ghandi (voir [Guy] D 2) se demande si l’équation

(11)  x^{n} + y^{n} = n!z^{n},

peut avoir des solutions en entiers x, y, z et n ≥ 3. On remarque d’abord que si n = 2, il existe une infinité de solutions. En effet si on définit deux suites (x_{k}) et (y_{k}) d’entiers par la relation:

x_{k} + y_{k}\sqrt{2} = (1 + \sqrt{2})^{k},

alors pour tout k ≥ 0, x_{k}^{2} − 2y_{k}^{2} = (−1)^{k} et en particulier si k est inpair, alors 1 + x_{k}^{2} = 2y_{k}^{2} est une réponse pour la question de Ghandi avec n = 2. Si maintenant n = 3, alors il existe aussi une infinité de solutions définies par les relations de récurrences:

x_{0} = 37, y_{0} = 17, z_{0} = 21,

et pour tout k ≥ 0,

x_{k+1} = x_{k}(x_{k}^{3} + 2y_{k}^{3}),
y_{k+1} = −y^{k}(2x_{k}^{3} + y_{k}^{3}),
z_{k+1} = z_{k}(x_{k}^{3} − y_{k}^{3}).

Il reste donc à considérer les cas n ≥ 4. La conjecture abc peut répondre partiellement au problème de Ghandi.

Proposition 26. La conjecture abc entraîne que l’équation (11) n’a qu’un nombre fini de solutions x > 0, y > 0, z > 0 et n ≥ 4.

Preuve. Supposons que les entiers positifs x, y, z et n ≥ 3 forment une solution de l’équation (11). On peut supposer que (x, z) = 1. D’autre part, le pgcd d de x^{n} et à n! est de la forme d^{n} et donc on doit avoir d^{n}|n! ce qui est impossible si d > 1. Appliquons alors la conjecture abc à l’égalité x^{n} + y^{n} = n!z^{n}. Nous obtenons:

n!z^{n} ≤ c_{1}(ε)(xyz)^{1+ε}r(n!)^{1+ε},

En utilisant les majorations x, y, z ≤ (n!z^{n})^{1/n}, on obtient:

n!z^{n} ≤ c_{1}(ε)(n!z^{n})^{3(1+ε)/n} (r(n!))^{1+ε} ,

puis, en utilisant les formules (9):

(nz/e)^{n(1−3(1+ε)/n)} ≤ (n!z^{n})^{1−3(1+ε)/n} ≤ c_{1}(ε)4^{n(1+ε)},

ce qui donne:

(nz/e)^{1−3(1+ε)/n} ≤ c_{2}(ε)4^{1+ε}.

Ceci implique donc n et z sont bornés et donc l’équation (11) ne peut avoir qu’un nombre fini de solutions avec n ≥ 4. ■

18. Le problème de Simmons. Dans [Guy] (D 25), Simmons se demande si les seules solutions de l’équation diophantienne

n! = m(m^{2} − 1)

en entiers positifs sont (n, m) = (3, 2), (4, 3), (5, 5) et (6, 9). On peut généraliser ce problème en considérant l’équation:

n! = m(m^{k} ± 1),

en entiers positifs n > 1, m > 1, k ≥ 2.

Proposition 27. La conjecture abc entraîne que l’équation ci-dessus n’admet qu’un nombre fini de solutions.

Preuve. Ecrivons

m^{k} ± 1 = n!/m,

et appliquons la conjecture abc. On obtient:

n!/m ≤ c_{1}(ε) (r(n!))^{1+ε} .

En utilisant l’inégalité:

m^{k} ≤ 2n!/m,

et les inégalités (9), on obtient:

(n/e)^{nk/(k+1)} ≤ (n!)^{k/(k+1)} ≤ c_{1}(ε)2^{1/(k+1)}4^{n(1+ε)},

puis

(n/e)^{k/(k+1)} ≤ c_{2}(ε),

ce qui implique que n est borné. Alors m et k sont bornés aussi. ■

19. Un problème d’Edgar et de Shorey-Tijdeman. D’après [Guy] (D 10), H. Edgar se demande si l’équation

1 + x + x^{2} + … + x^{n−1} = \frac{x^{n} − 1}{x − 1} = z^{m},

en entiers premiers x, z, n ≥ 5 et m ≥ 2, admet d’autres solutions que 1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} = 11^{2} (voir aussi [Sho-Tij] p. 202 − 203). Nous allons considérer ce problème plus généralement. Soit a un entier positif. On considère l’équation:

(12)  x^{n−1} + x^{n−2}y + … + xy^{n−2} + y^{n−1} = \frac{x^{n} − y^{n}}{x − y} = az^{m},

en entiers x > y > 0, z > 0, n > 3, m > 1.

Proposition 28. La conjecture abc entraîne que l’équation (12) n’a qu’un nombre fini de solutions x > y > 0, z > 0, n > 3, m > 1 avec (x, y) = 1, 3n^{−1} + m^{−1} < 1.

Preuve. Supposons que 0 < y < x et (x, y) = 1. Appliquons la conjecture abc à la relation suivante, déduite de l’équation (12):

y^{n} + az^{m}(x − y) = x^{n},

et en utilisant les inégalités x − y < x et z ≤ x^{m/n}, on obtient:

x^{n} ≤ c_{1}(ε) (ayz(x − y)x)^{1+ε} ≤ c_{2}(ε, a)x^{(3+n/m)(1+ε)}.

D’où l’on tire:

(x^{n})^{1−(3n^{−1}+m^{−1})(1+ε)} ≤ c_{2}(ε, a).

Si ε est assez petit et si 3n^{−1} + m^{−1} < 1, alors x, n, puis y, z et m sont bornés. ■

Remarque. Si f est une forme binaire à coefficients dans ZZ avec f(1, 0) ≠ 0 et au moins deux facteurs linéaires distincts sur Q , alors l’équation f(x, y) = z^{m} en entiers x, y, z et m vérifiant (x, y) = 1 et y composé de nombres premiers fixés implique que m est borné (voir [Sho-Tij], p. 170). ■

20. Le problème de Goormaghtigh. Ce problème consiste à determiner les entiers qui s’écrivent de deux façons différentes sous la forme (voir [Guy], B 25):

(13)  \frac{x^{m} − 1}{x − 1} = \frac{y^{n} − 1}{y − 1.}

Cela équivaut donc à résoudre cette équation en entiers m > n > 2 et y > x > 1. Des solutions connues sont (x, y, m, n) = (2, 5, 5, 3), (2, 90, 13, 3). R. Balasubramanian et T.N Shorey (cités dans [Sho-Tij], p.203) ont démontré que si x et y sont composés de nombres premiers fixés, alors l’équation (13) n’admet qu’un nombre fini de solutions en entiers vérifiant m > n > 2 et y > x > 1. La conjecture abc permet d’avoir le même résultat avec (x, y) = 1, et plus généralement:

Proposition 29. La conjecture abc implique que l’équation (13) n’admet qu’un nombre fini de solutions en entiers vérifiant m > n > 3 et y > x > 1.

Preuve. L’équation (13) donne

x^{m}(y − 1) = y^{n}(x − 1) + (y − x).

Soit d = (x^{m}(y − 1), y^{n}(x − 1)). Appliquons maintenant la conjecture abc au triplet (x^{m}(y − 1)/d, y^{n}(x − 1)/d, (y − x)/d). On obtient:

x^{m}(y − 1)/d <≤ c_{1}(ε) (r (x^{m}y^{n}(y − 1)(x − 1)(y − x)/d^{3}))^{1+ε} ,

ce qui donne:

yx^{m} ≤ c_{2}(ε) ((y − x)r(x^{m}y^{n}(x − 1)(y − 1)/d^{2})^{1+ε}
≤ c_{2}(ε) ((y − x)r(x^{m}y^{n}(x − 1)(y − 1))^{1+ε}
≤ c_{2}(ε) ((y − x)xy(x − 1)(y − 1))^{1+ε} .

La relation (13) montrer que y et x^{(m−1)/(n−1)} sont de même ordre de grandeur. Alors:

x^{m+(m−1)/(n−1)} ≤ c_{3}(ε) (x^{2+3(m−1)/(n−1)})^{1+ε} ,

et donc

x^{(mn−1−(2n+3m−5)(1+ε))/(n−1)} ≤ c_{2}(ε).

Supposons que ε est assez petit. Si m > n > 3, alors mn − 1 > 2n + 3m − 5 et donc l’inégalité ci-dessus montre que x, m, n, et y sont bornés. ■

21. Les progressions arithmétiques. Soient m, d et k des entiers positifs tels que (m, d) = 1 et k ≥ 3. Considérons le produit:

Π = m(m + d) ⋯ (m + (k − 1)d),

des k termes de la progression arithmétique m, m + d, ⋯, m + (k − 1)d. En 1975, P. Erdös et J.L. Selfridge ont montré que lorsque d = 1, Π ne peut pas être de la forme y^{n} avec n, y ≥ 2. En 1985, R. Marzsalek a montré que k peut être borné en fonction de d lorsque n ≥ 2(voir [Tij]). Nous verrons dans cette partie comment appliquer la conjecture abc à ce problème. Montrons d’abord le lemme suivant:

Lemme 3. Soient i et j deux entiers vérifiant 0 < i < j ≤ k−1, alors (m+id, m+jd) < k.

Preuve. Soient i et j deux entiers vérifiant 0 ≤ i < j ≤ k − 1. Soit g = (m + id, m + jd). Alors g|(j − i)d. Si p est un facteur premier de g et p|d, alors p|m, d’où p = 1. Ainsi p|j − i < k et donc g < k. Ceci montre en particulier que les termes m + id et m + jd n’ont aucun facteur premier commun p tel que p ≥ k. ■

Remarque. D’après ce qui précède, pour tout i, 0 ≤ i ≤ k − 2, (m + id, m + (i + 1)d) = 1 et pour tout i, 0 ≤ i ≤ k − 3, (m + id, m + (i + 2)d) ≤ 2.

Proposition 30. La conjecture abc implique que pour tout d ≥ 1, l’équation m(m + d) … (m + (k − 1)d) = y^{n} n’admet qu’un nombre fini de solutions en entiers m > 0, k ≥ 3, y > 0, n ≥ 2.

Preuve. Nous allons le montrer avec k = 3. En utilisant le lemme 3, on a pour tout i, 0 ≤ i ≤ 2:

m + id = a_{i}y_{i}^{n},

en désignant par a_{i} la partie contenant les facteurs premiers inférieurs à 3 et par y_{i} la partie contenant les facteurs supérieurs ou égaux à 3, avec la possibilité y_{i} = 1. Rappelons que (m + d, m(m + 2d)) = 1, ce qui montre que a_{1} = 1 et y_{1} ≥ 2. La relation (m + d)^{2} = d^{2} + m(m + 2d) donne alors:

a_{1}y_{1}^{2n} = d^{2} + a_{0}a_{2}y_{0}^{n}y_{2}^{n}.

En appliquant la conjecture abc, on obtient:

y_{1}^{2n} ≤ c(ε, d) (r(y_{0}y_{1}y_{2}))^{1+ε} ≤ c_{1}(ε, d)y_{1}^{3(1+ε)},

puis

y_{1}^{2n−3(1+ε)} ≤ c_{1}(ε, d).

Cette inégalité montre que n est borné et que si n ≥ 2, y_{1}, puis y_{2} et y_{3} le sont aussi. ■ 22. La conjecture de Richard. Un résultat curieux est le fait que la conjecture abc permet de répondre affirmativement à la conjecture suivante , citée dans [Ric]: Conjecture 20. (Richard). Si deux entiers x et y vérifient pour tout entier n ≥ 0:

r (x^{2^{n}} − 1) = r (y^{2^{n}} − 1) ,

alors ils sont égaux. Nous allons reprendre la démonstration donnée dans [Ric]. On aura besoin du lemme suivant: Lemme 4. Si la conjecture abc est vraie, alors pour tout ε > 0, il existe une constante positive c(ε) telle que pour tous les entiers x > 1 et n > 0 on ait:

r(x^{n} − 1) ≥ c(ε)x^{n(1−ε)−1}.

Preuve. Appliquons la proposition 5 à la relation (x^{n} − 1) + 1 = x^{n}. On obtient:

c(ε)x^{n(1−ε)} ≤ r(x(x^{n} − 1)) ≤ xr(x^{n} − 1),

ce qui donne le résultat du lemme. ■ Théorème 10. (Schinzel). Si la conjecture abc est vraie, alors les conditions

r (x^{2^{n}} − 1) = r (y^{2^{n}} − 1) ,

pour tout entier n, impliquent que x=y. Preuve. Supposons que pour tout entier n:

r (x^{2^{n}} − 1) = r (y^{2^{n}} − 1) .

Choisissons ε tel que x^{1−ε} = (x(x−1))^{1/2} et n tel que (x−1)^{2^{n−1}} < c(ε)x^{2^{n−1}−1}. Supposons que x > y, alors on a:

y^{2^{n}} − 1 < (x − 1)^{2^{n}} < c(ε)x^{2^{n−1}−1}(x − 1)^{2^{n−1}} = c(ε)x^{2^{n}(1−ε)−1} ≤ r (x^{2^{n}} − 1) d’où l’on tire:

y^{2^{n}} − 1 < r (y^{2^{n}} − 1) ,

ce qui n’est pas possible avec y > 1. ■

23. Le problème de Croft. Le problème de savoir dans quelle mesure |n!−2^{m}| peut être petit par rapport à 2^{m} s’appelle le problème de Croft (voir [Guy], F 23). La conjecture abc et des résultats expérimentaux (voir Table 4) nous ont motivé pour proposer la conjecture suivante.

Conjecture 21.Ê Il existe une constante c > 0 telle que pour tous les entiers m et n avec (m, n) ≠ (0, 0), (1, 0), (2, 1) on ait:

n ≤ c (r(n! − 2^{m}))^{1/n} .

La conjecture abc implique une forme plus faible.

Proposition 31. La conjecture abc implique que pour tout ε > 0, il existe une constante c(ε) > 0 telle que pour tous les entiers m et n avec (m, n) ≠ (0, 0), (1, 0), (2, 1), on ait:

n ≤ c(ε) (r(n! − 2^{m}))^{(1+ε)/n} .

Preuve. Posons n! = 2^{s}n′ où n′ est impair. Il est clair que s < n. On va distinguer deux cas suivant les valeurs de s par rapport à celles de m.

- Si s ≥ m, alors en appliquant la conjecture abc à la relation

n!/2^{m} − 1 = k,

il vient:

n!/2^{n} ≤ n!/2^{m} ≤ c_{1}(ε) (r(n!k))^{1+ε} ≤ c_{1}(ε) (r(n!2^{m}k))^{1+ε} ,

et donc en utilisant les inégalités (9), on a:

(n/2e)^{n} ≤ c_{1}(ε)4^{(1+ε)n} (r(2^{m}k))^{1+ε} .

On obtient finalement:

n ≤ c_{2}(ε) (r(n! − 2^{m}))^{(1+ε)/n} .

- Si s < m, alors en appliquant la conjecture abc à la relation:

n!/2^{s} − 2^{m−s} = k,

il vient:

n!/2^{n} ≤ n!/2^{s} ≤ c(ε) (r(n!2^{s}k))^{1+ε} .

Le résultat s’obtient comme ci-dessus. ■

Pour illustrer la conjecture 21, nous avons résumé dans la table 4 les valeurs de n et de m pour lesquelles, on a |τ| < 10^{−5} où τ est le rapport

τ = \frac{2^{m} − n!}{2^{m}}.

Ces valeurs sont liées par la relation m log 2 ≃ log n! et testées pour n ≤ 10^{6}.

Table 4

n  2 55139 95868  219536 235928 298981 317032 323909
m  1 788943 1448198 3578755 3870478 5007045 5336158 5461937
10^{5} × τ 0 0.183 −7.333 −5.947 −0.514 −4.664 7.389  1.190

\begin{matrix}n & 326197 & 404208 & 440912 & 464848 & 513545 & 522223 & 598811 \\ m & 5503831 & 6945130 & 7631067 & 8080791 & 9001138 & 9165866 & 10628335 \\ 10^{5} × τ & 2.417 & 8.016 & 4.803 & −9.884 & −2.870 & −2.502 & −4.751 \end{matrix}

\begin{matrix}n & 610651 & 652834 & 684122 & 703242 & 706639 & 809873 \\ m & 10855733 & 11668545 & 12273980 & 12644982 & 12710976 & 14727261 \\ 10^{5} × τ & 9.163 & −5.299 & −2.331 & 3.622 & 5.259 & −6.750 \end{matrix}

\begin{matrix}n & 836705 & 837752 & 857077 \\ m & 15254536 & 15275136 & 15655697 \\ 10^{5} × τ & 6.120 & −1.036 & 9.384 \end{matrix}

V. Résultats en faveur des conjectures abc et de Szpiro

Les conjectures abc et de Szpiro traîtent beaucoup d’équations diophantiennes. Elles impliquent en particulier que le nombre de solutions est borné dans beaucoup de cas. Inversement, plusieurs résultats, complètement établis confirment en partie la véracité des conjectures abc et de Szpiro. Il est bien entendu impossible d’énumérer tous ces résultats. On peut cependant en analyser quelques-uns d’essentiels dans ce domaine.

1. Le théorème de Mahler.

Soit S l’ensemble des entiers positifs composés de s nombres premiers p_{1}, p_{2}, ⋯ p_{s} fixés avec s ≥ 2. On sait depuis Mahler (1933) que l’équation:

(14)  x + y = z,

n’a qu’un nombre fini de solutions dans S (voir aussi [Sho-Tij], p. 41). Ce résultat va dans le même sens que la conjecture abc (et donc les conjectures de Szpiro) en ce sens que celle-ci implique pour la relation (14) que:

z ≤ c(ε) (r(xyz))^{1+ε} ≤ c(ε)(p_{1} ⋯ p_{s})^{1+ε},

ce qui implique que z, puis x et y sont bornés. ■

2. Une inégalité en éléments de S. Soit S l’ensemble des entiers positifs composés de s nombres premiers p_{1}, p_{2}, ⋯ p_{s} fixés avec s ≥ 2. Soit α un réel vérifiant 0 < α < 1. On considère l’inéquation diophantienne:

(15)  |x − y| ≤ max(x, y)^{α},

en entiers x ∈ S et y ∈ S avec (x, y) = 1. Les solutions de cette inéquation sont bornées par une constante effectivement calculable qui ne dépend que des nombres premiers p_{1}, p_{2}, ⋯, p_{s}. Une démonstration de ce résultat se trouve dans le livre de B.M.M. de Weger [Weg], chapitre 5. La conjecture abc permet d’obtenir la même conclusion, beaucoup plus facilement.

Proposition 32. La conjecture abc entraîne que pour tout réel α vérifiant 0 < α < 1, l’inéquation (15) n’a qu’un nombre fini de solutions en entiers x ∈ S, y ∈ S, (x, y) = 1.

Preuve. Supposons que x > y et écrivons x − y = k. Appliquons alors la conjecture abc. On obtient:

x ≤ c(ε) (r(xyk))^{1+ε} ≤ c_{2}(ε, p_{1}, ⋯, p_{s})|k|^{1+ε} ≤ c_{2}(ε, p_{1}, ⋯, p_{s})x^{α(1+ε)}.

Alors:

x^{1−α(1+ε)} ≤ c_{2}(ε, p_{1}, ⋯, p_{s}).

En choisissant ε tel que 1 − α(1 + ε) > 0, x est alors borné et donc y aussi. ■

3. Des équations à trois termes. Le théorème 9 précise la finitude pour tout triplet (A, B, C) du nombre de solutions de l’équation

Ax^{l} − By^{m} = Cz^{n},

en entiers positifs x, y, z, l, m, n avec l^{−1} + m^{−1} + n^{−1} < 1 et (x, y) = 1. Certains résultats vont dans ce sens.

(i) Sierpinski en 1956 (cité dans [Ter]): L’équation 3^{x} + 4^{y} = 5^{z} n’admet que la solution (x, y, z) = (2, 2, 2) en entiers positifs.

(ii) Jesmanowicz en 1956 (cité dans [Ter]): Les équations 5^{x} + 12^{y} = 13^{z}, 7^{x} + 24^{y} = 25^{z}, 9^{x} +40^{y} = 41^{z}, 11^{x} +60^{y} = 61^{z} n’admettent que les solutions (x, y, z) = (2, 2, 2) en entiers positifs.

(iii) Terai en 1993 [Ter]: Ses résultats sont récents et on y trouve:

Théorème 11. (Terai). Soient p et q deux nombres premiers vérifiant:

(a) q^{2} + 1 = 2p,

(b) d = 1 ou d est pair si q ≡ 1 (mod 4), où d est l’ordre d’un diviseur premier de (p) dans le groupe des classes d’ideaux de Q (\sqrt{−q})). Alors l’équation

x^{2} + q^{m} = p^{n},

admet la seule solution (x, m, n) = (p − 1, 2, 2).

(v) Scott en 1993 [Sco]: Si a > 1, b > 1 sont des entiers premiers entre eux, et si p est un nombre premier, alors l’équation a^{x} + b^{y} = p^{z} admet au plus trois solutions.

(vi) Le Maohua en 1993 [Le2]: Soient a, et b deux entiers positifs, sans facteurs carrés et premiers entre eux. Soit h le nombre de classes du corps quadratique imaginaire Q(\sqrt{−ab}). Soient m et n des entiers vérifiant (n, 2h) = 1. Si n ≥ 8.5 × 10^{6}, alors l’équation

ax^{2} + 2^{2m}b = y^{n},

en entiers x > 0, y > 1, y impair et (x, y) = 1 n’ a pas de solutions. ■

4. L’équation de Thue. Soient a, b et c des entiers non nuls, premiers entre eux deux à deux. Le théorème de Thue affirme que pour tout n ≥ 3, l’équation

ax^{n} + by^{n} = c,

n’admet qu’un nombre fini de solutions en entiers x et y. La conjecture abc affirme plus: d’après la preuve de la proposition 15, pour tout triplet (a, b, c) d’entiers premiers entre eux, l’équation ci-dessus n’admet qu’un nombre fini de solutions en entiers x, y et n ≥ 3. Ceci est confirmé par un théorème de Tijdeman ([Sho-Tij], p. 100) qui établit la finitude du nombre de solutions vérifiant x > 1, y ≥ 0 et n ≥ 3. ■

5. Une équation en S-entiers. Plus généralement, soient p_{1}, ⋯, p_{s} des nombres premiers fixés avec s ≥ 1. Soit S l’ensemble des entiers formés des nombres premiers p_{i}, 1 ≤ i ≤ s. D’après les théorèmes 2.2 et 12.2 de [Sho-Tij], l’équation:

(16)  ax^{n} − by^{n} = z

en entiers a ∈ S, b ∈ S, z ∈ S, n ≥ 3, x ∈ ZZ et y ∈ ZZ n’admet qu’un nombre fini de solutions avec (ax^{n}, z) borné. La conjecture abc a les mêmes conséquences.

Proposition 33. La conjecture abc implique que l’équation (16) n’a qu’un nombre fini de solutions en entiers n ≥ 3, x, y ∈ ZZ et z ∈ S.

Preuve. Supposons que (ax^{n}, z) soit borné. La proposition 18 montre qu’il n’y a qu’un nombre fini de solutions avec x = ±1. Supposons alors que x ≠ ±1 et appliquons alors la conjecture abc au triplet (ax^{n}, by^{n}, z). On obtient:

|x|^{n} ≤ c_{1}(ε, p_{1}, ⋯, p_{s}) (r(xy))^{1+ε} .

Supposons que |ax^{n}| > |by^{n}|, alors:

|y| ≤ |ax^{n}/b|^{1/n} ≤ |a|^{1/n}|x|.

Maintenant, on a:

a|x|^{n} ≤ c_{2}(ε, p_{1}, ⋯, p_{s})|a|^{(1+ε)/n}|x|^{2(1+ε)},

et donc

|a|^{1−(1+ε)/n}|x|^{n−2(1+ε)} ≤ c_{2}(ε, p_{1}, ⋯, p_{s}),

ce qui implique que n est borné et que pour n ≥ 3, a, x, puis b et y sont bornés. ■

6. Résultats pour l’équation de Pillai. Plusieurs résultats confirment partiellement la proposition conjecturale 15 qui lie la conjecture de Pillai à la conjecture abc:

(i) Stormer en 1899 [Sto2]: L’équation x^{2} + 1 = 2y^{n} n’a aucune solution vérifiant x > 1, y ≥ 1 et n ≥ 3 impair.

(ii) Pillai en 1931 [Pil]: Soient r, a, s, b et c des entiers donnés. L’équation ra^{x} − sb^{y} = c n’admet qu’un nombre fini de solutions en entiers x > 0, y > 0.

(iii) Ljunggren en 1942 [Lju]: L’équation x^{2} + 1 = 2y^{4} n’a que les deux solutions (x, y) = (1, 1) et (239, 13).

(iv) Nagell en 1960 (cité dans [Mord]): L’équation x^{2} + 7 = 2^{n}, n’admet que les cinqs solutions (x, n) = (1, 3), (3, 4), (5, 5), (11, 7), (181, 15).

(v) Cohn en 1964 [Coh1]: L’équation x^{2} − 5y^{4} = ±4, (x, y) = 1 en entiers positifs n’a que deux solutions (x, y) = (1, 1), (3, 1).

(vi) Zhenfu en 1986 [Zhe]: Soient n > 2 et d > 0 des entiers avec d non carré parfait et tels que l’équation de Pell u^{2} − dv^{2} = −1 soit solvable. Alors l’équation x^{2n} − dy^{2} = 1 a pour unique solution x = 3, y = 22 (lorsque n = 5, d = 122).

(vii) Le Maohua en 1990 [Le1]: Si p est un nombre premier impair et si d est un entier tel que d ≠ 4p^{m} − 1, alors l’équation x^{2} + d = 4p^{n} admet au plus deux solutions (x, n).

(xiii) Cohn en 1992 [Coh2]: L’équation x^{2} + 19 = y^{n} en entiers x > 1, y > 1, n ≥ 3 n’admet que les deux solutions (x, y, n) = (18, 7, 3), (22434, 55, 5).

(ix) Scott en 1993 [Sco]: Soient b > 1 et c > 0 deux entiers donnés et soit p un nombre premier. L’équation p^{x} − b^{y} = c a au plus deux solutions en entiers x > 0 et y > 0. ■

7. Un théorème de Stewart. Soit n un entier positif. On désigne par P (n) le plus grand facteur premier de n. C.L. Stewart [Ste] a montré qu’il existe une constante c > 0 effectivement calculable telle que pour tout nombre premier p > c on ait:

P (2^{p} − 1) ≥ \frac{p}{2} (log p)^{1/4} .

Ceci implique que lim_{p→+∞} P (2^{p} − 1) = +∞. La conjecture abc permet aussi d’obtenir cette limite. En effet, si on l’applique à la relation 1 + (2^{p} − 1) = 2^{p}, on obtient:

2^{p} ≤ c(ε) (r(2^{p} − 1))^{1+ε} ,

ce qui montre que lim_{p→+∞} r(2^{p} − 1) = +∞ et donc que lim_{p→+∞} P (2^{p} − 1) = +∞. D’autre part, l’inégalité ci-dessus donne:

2^{p} ≤ c(ε) (r(2^{p} − 1))^{1+ε} ≤ c(ε)4^{P (2^{p}−1)(1+ε)},

ce qui donne:

P (2^{p} − 1) ≥ c_{1}(ε)p.

Cette inégalité est cependant moins bonne que celle de Stewart. ■

8. Un théorème de Shorey. Plus généralement, soient, a, b et n > 1 des entiers non nuls. T. N. Shorey [Sho] a montré que pour tous les entiers non nuls x, y, m vérifiant |x| > 1, (ax, by) = 1 et m > e^{e}, le plus grand facteur premier de ax^{m} + by^{n} vérifie:

P (ax^{m} + by^{n}) ≥ c(a, b, n) ((log m) (log log m))^{1/2} ,

où c(a, b, n) est une constante qui ne dépend que de a, b, et n. Cette inégalité implique que lim_{m→+∞} P (ax^{m} + by^{n}) = +∞. Ceci est aussi une conséquence de la conjecture abc, car si on applique celle-ci à la relation suivante, puisque que (ax^{m}, by^{n}) = 1:

ax^{m} + by^{n} = z,

on obtient, en supposant que |y^{n}| < |x^{m}|:

|x|^{m} ≤ c_{1}(ε, a, b) (r(xyz))^{1+ε} ≤ c_{2}(ε, a, b)|x|^{(1+m/n)(1+ε)} (r(z))^{1+ε} ,

ce qui donne:

(|x|^{m})^{1−(n^{−1}+m^{−1})(1+ε)} ≤ c_{2}(ε, a, b) (r(z))^{1+ε} .

Ceci implique donc aussi que lim_{m→+∞} P (ax^{m} + by^{n}) = +∞ lorsque n > 1. D’autre part, on a:

(|x|^{m})^{1−(n^{−1}+m^{−1})(1+ε)} ≤ c_{2}(ε, a, b) (r(z))^{1+ε} ≤ c_{2}(ε, a, b)4^{(1+ε)P (ax^{m}+by^{n})},

ce qui donne:

P (ax^{m} + by^{n}) ≥ c_{3}(ε, a, b, n)m.

Cette inégalité est meilleure que celle de Shorey. ■

9. La tentative de Wiles. Le 24 juin 1993, A. Wiles a exposé une démonstration du théorème de Fermat, mais actuellement, quelques problèmes non résolus font que le théorème de Fermat reste une conjecture. Le travail de Wiles porte sur la conjecture de Taniyama-Weil. Plus précisement, il a tenté de démontrer la conjecture suivante, en se limitant au cas des courbes elliptiques semi-stables:

Conjecture (Taniyama-Weil). Toute courbe elliptique E définie sur Q est modulaire.

En utilisant les travaux de plusieurs auteurs dont Y. Hellegouarch [Hel1] et G. Frey [Fre] sur les courbes elliptiques E_{abc} définies en 1972 par Y. Hellegouarch (voir aussi la partie II de ce chapitre), K. Ribet a montré en 1987 que si x_{1}, x_{2} et x_{3} sont des entiers non nuls vérifiant x_{1}^{p} + x_{2}^{p} = x_{3}^{p} pour un nombre premier p ≥ 5, alors la courbe elliptique (semi-stable) E définie par:

E : y^{2} = x(x − x_{1}^{p})(x + x_{2}^{p}),

n’est pas une courbe modulaire, et viole donc la conjecture de Taniyama-Weil sur les courbes elliptiques. Pour plus de détails, on peut consulter par exemple [Oes] et [Fre]. Ainsi, K. Ribet a prouvé le théorème suivant (loc.cit.):

Théorème 12. La conjecture de Taniyama-Weil implique le théorème de Fermat.

Maintenant, il est clair comment la tentative de Wiles aurait abouti à la démonstration du théorème de Fermat.

VI. Généralisations de la conjecture abc

1. La conjecture abc multidimensionnelle

La conjecture abc est une 3-conjecture, c’est-à-dire qu’elle concerne une relation entre trois entiers. Il existe suivant le même principe une n-conjecture abc, qui peut être définie comme suit: Soit n ≥ 3. Soient a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{n} des entiers vérifiant les conditions:

(16)  \{ \begin{matrix}a_{1} + a_{2} + … a_{n} = 0, \\ (a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{n}) = 1, \\ Aucune sous-somme n’est nulle. \end{matrix}

Soit r(a_{1}a_{2} ⋯ a_{n}) le radical du produit a_{1}a_{2} ⋯ a_{n}. La n-conjecture abc s’énonce ainsi:

Conjecture 22. (n-conjecture abc) Soit ε > 0. Il existe une constante positive c(ε, n) ne dépendant que de ε et de n telle que pour tout n-uplet (a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{n}) d’entiers vérifiant les conditions (16), on ait:

max(|a_{1}|, ⋯, |a_{n}|) ≤ c(ε, n) (r(a_{1}a_{2} ⋯ a_{n}))^{2n−5+ε} .

Le n-rapport abc peut être défini par:

α_{n} = \frac{log max(|a_{1}|, ⋯, |a_{n}|}{log r(a_{1}a_{2} ⋯ a_{n})}.

Dans [Bro-Brz], J. Browkin et J. Brzezinski ont explicité pour tout n ≥ 3, une infinité de n-uplets (a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{n}) pour lesquels α_{n} ≥ 2n − 5.

2. Corps de fonctions

On remarque une certaine similitude entre l’anneau des entiers ZZ et l’anneau des polynômes K[X], où K est un corps de caractéristique nulle et il est naturel de se demander si l’analogue de la conjecture abc existe dans K[X]. En fait, cet analogue existait et avait été démontré par Mason [Mas] avant même la naissance de la conjecture abc de Oesterlé-Masser.

Soit A(X) un polynôme à coefficients dans K. On désigne par r(A) le nombre de racines distinctes de A dans une clôture algébrique de K.

Théorème 13. (Mason). Soient A, B et C trois polynômes de K[X] premiers entre eux, tels que A + B + C = 0 et dont l’un au moins n’est pas une constante. Alors

max (deg(A), deg(B), deg(C)) ≤ r(ABC) − 1.

Preuve. Supposons que C′ ≠ 0. De l’égalité A + B + C = 0, on tire A/C + B/C + 1 = 0. En dérivant, on obtient:

AC′ − A′C = CB′ − C′B ≠ 0.

Ainsi, nous avons les inégalités:

(17).  −∞ < deg(AC′ − A′C) ≤ deg(A) + deg(C) − 1

Soit θ une racine de A, de multiplicité n ≥ 1 dans une clôture algébrique de K. Alors

A(X) = (X − θ)^{n}a(X),

où a est un polynôme tel que a(θ) ≠ 0. Alors

(AC′ − A′C)(X) = (X − θ)^{n−1}((X − θ)(aC′ − a′C)(X) − n(aC)(X)),

ce qui donne:

deg(AC′ − A′C) ≥ n − 1,

puisque AC′−A′C ≠ 0. En considérant les r(ABC) racines distinctes de ABC, on obtient:

deg(AC′ − A′C) ≥ deg(A) + deg(B) + deg(C) − r(ABC),

et en comparant avec l’inégalité (17), on obtient deg(B) ≤ r(ABC) − 1. On conclut en utilisant la symétrie de l’équation. ■

Quelques exemples particuliers montrent qu’on peut avoir une égalité dans le théorème de Mason. Les exemples suivants sont tirés de l’égalité c_{4}^{3} − c_{6}^{2} = 1728Δ où c_{4}, c_{6} et Δ sont des invariants associés à des courbes elliptiques. On pose:

A(X) = 1 + X + X^{2},
B(X) = 2(1 + 2X)(X − 1)(2 + X),
C(X) = 1728X^{2}(1 + X)^{2}.

Ces polynômes proviennent des courbes E_{abc} définies par (1). Le triplet (A^{3}, −B^{2}, −C) représente un cas d’égalité pour le théorème de Mason. On pose maintenant:

A(X) = (1 − X + X^{2})(1 − 11X + 30X^{2} − 15X^{3} − 10X^{4} + 5X^{5} + X^{6}),
B(X) = −X^{12} − 6X^{11} + 15X^{10} + 46X^{9} − 174X^{8} + 222X^{7}
− 273X^{6} + 486X^{5} − 570X^{4} + 354X^{3} − 117X^{2} + 18X − 1,
C(X) = 1728X^{7}(1 − X)^{7}(1 − 8X + 5X^{2} + X^{3}),
D(X) = (1 − X + X^{2})(1 + 229X + 270X^{2} − 1695X^{3} + 1430X^{4} − 235X^{5} + X^{6}),
E(X) = −X^{12} − 510X^{11} + 14631X^{10} − 80090X^{9} + 218058X^{8} − 316290X^{7}
+ 253239X^{6} − 131562X^{5} + 70998X^{4} − 37950X^{3} + 8955X^{2} + 522X − 1,
F (X) = 1728X(1 − X)(1 − 8X + 5X^{2} + X^{3})^{7}.

Ces polynômes sont issus des courbes elliptiques définies dans la partie III du chapitre 2. Alors les triplets (A^{3}, −B^{2}, −C) et (D^{3}, −E^{2}, −F) vérifient l’égalité du théorème de Mason. L’exemple suivant est dû à Birch (Voir [Lan]):

\begin{matrix}a(X) = X^{6} + 4X^{4} + 10X^{2} + 6, \\ b(X) = X^{9} + 6X^{7} + 21X^{5} + 35X^{3} + \frac{63}{2}X. \end{matrix}

Soient A = a^{3}, B = b^{2} et C = A − B. Alors:

18 = deg(A) = deg(B) = r(ABC) − 1.

D’autre part, M. Langevin a explicité dans [Lange2] une infinité de familles de polynômes A, B et C vérifiant (A, B, C) = 1, A+B+C = 0 et tels que max(deg(A), deg(B), deg(C)) = r(ABC) − 1. En voici quelques exemples:

(i) A(X) = (X − n)^{m}(X + m)^{n}, B(X) = (X − m)^{n}(X + n)^{m}, C = A − B, m, n entiers positifs.

(ii) A(X) = (X^{2} − m^{2})^{n^{2}}, B(X) = X^{2(n^{2}−m^{2})}(X^{2} − n^{2})^{m^{2}}, C = A − B, m, n entiers.

(iii) Soit k ≥ 2 un entier fixé. On définit les entiers m_{i} et n_{i}, 1 ≤ i ≤ k par:

\{ \begin{matrix}m_{i} = \binom{k−1}{i−1}, n_{i} = 0 si i est pair, \\ m_{i} = 0, n_{i} = \binom{k−1}{i−1} si i est impair. \end{matrix}

Soient A_{k}(X) = ∏_{i=1}^{k}(X + i)^{m_{i}}, B_{k}(X) = ∏_{i=1}^{k}(X + i)^{n_{i}}, et C_{k} = A_{k} − B_{k}. Alors deg(A_{k}) = 2^{k−2}, deg(B) = 2^{k−2}, deg(C) = 2^{k−2} − k + 1, r(A_{k}B_{k}C_{k}) = 2^{k−2} + 1 ce qui donne deg(A_{k}) = deg(B_{k}) = r(A_{k}B_{k}C_{k}) − 1. Cette famille est doublement intéressante car le nombre de racines distinctes de A_{k}B_{k}C_{k} peut être arbitrairement grand, ainsi que les degrés des trois polynômes.

Le théorème de Mason est très utile pour l’étude des équations diophantiennes polynômiales. Nous ne nous étendrons pas sur ce sujet. Signalons seulement le résultat suivant.

Proposition 34. Soient a, b et c trois polynômes premiers entre eux deux à deux. L’équation:

a(X)P (X)^{l} + b(X)Q(X)^{m} = c(X)R(X)^{n},

en polynômes non constants P, Q et R tels que aP et bQ soient premiers entre eux et en entiers l ≥ 3, m ≥ 3, n ≥ 3 avec lmn ≥ 48 n’admet que des solutions telles que deg(P), deg(Q), deg(R), l, m et n sont bornés.

Preuve. Le théorème de Mason implique:

deg(a) + l deg(P)+ deg(b) + m deg(Q) + deg(c) + n deg(R)

≤ 3 deg(abcP QR) − 3

≤ 3 (deg(a) + deg(P) + deg(b) + deg(Q) + deg(c) + deg(R)) − 3,

d’où l’on tire:

(l − 3) deg(P) + (m − 3) deg(Q) + (n − 3) deg(R) ≤ 2(deg(a) + deg(b) + deg(c)) − 3.

Ceci montre d’une part que les exposants l, m et n sont bornés et d’autre part que pour l ≥ 3, m ≥ 3 et n ≥ 3, avec lmn ≥ 48(= 3 × 4 × 4), les degrés de Q et de R sont bornés et donc celui de P aussi. ■

Remarque. Un cas particulier important est si deg(a) + deg(b) + deg(c)) ≤ 1, alors on ne peut pas avoir en même temps l ≥ 3, m ≥ 3 et n ≥ 3, c’est le cas par exemple pour l’équation de Fermat:

P (X)^{n} + Q(X)^{n} = R(X)^{n},

qui n’admet donc pas de solutions pour n ≥ 3.

3. Corps de nombres

Soit K un corps de nombres. Soit E/K une courbe elliptique définie par une forme normale de Weierstrass sur K. Soient Δ_{E/K} l’idéal discriminant minimal de E/K et F_{E/K} son idéal conducteur. On définit le quotient de Szpiro de E sur K par:

σ_{E/K} = \frac{log N_{K/Q} (Δ_{E/K})}{log N_{K/Q} (F_{E/K})},

avec par convention σ_{E} = 1 si N_{K/Q} (F_{E/K}) = 1. La conjecture de Szpiro dans K est (voir par exemple [Fre]):

Conjecture 23. (Szpiro). Pour tout nombre réel d > 1, il existe une constante c(d, K) ne dépendant que de d et de K telle que pour toute courbe elliptique E sur K, le quotient de Szpiro est majoré par:

σ_{E/K} ≤ 6d + \frac{c(d, K)}{log N_{K/Q}(F_{E/K})}.

La conjecture abc sur K quant à elle peut être formulée ainsi:

Conjecture 24. (abc). Pour tout nombre réel d > 1, il existe une constante C(d, K) telle que pour tout triplet (a, b, c) d’entiers de l’anneau de K vérifiant (a, b, c) = 1 et a+b+c = 0, on ait:

log max (N_{K/Q} (a), N_{K/Q} (b), N_{K/Q} (c)) ≤ C(d, K) + d log N_{K/Q} (r(abc)),

où r(abc) désigne le produit des idéaux premiers divisant abc.

Le quotient abc d’une relation a + b + c = 0 entre entiers premiers entre eux est défini par:

α_{K/Q} (a, b, c) = \frac{log max (N_{K/Q} (a), N_{K/Q} (b), N_{K/Q} (c))}{log N_{K/Q} (r(abc))}.

Signalons l’existence d’une conjecture de G. Frey sur les hauteurs des courbes elliptiques sur un corps de nombres. Frey affirme que cette conjecture est équivalente à la conjecture abc et implique donc la conjecture 23 de Szpiro (voir [Fre]). Pour une courbe elliptique E définie sur K, on définit sa hauteur globale h_{K}(E) par:

h_{K}(E) = \frac{1}{12} max (log N_{K/Q} (Δ_{E/K}), log N_{K/Q} (j_{E/K})) ,

où j_{E/K} désigne le j-invariant de E (voir appendice A).

Conjecture 25. (Frey). Il existe un nombre réel d et une constante c(d, K) ne dépendant que de d et de K tels que pour toute courbe elliptique E sur K, de conducteur F_{E/K}, la hauteur globale h_{K}(E) de E est majorée par:

h_{K}(E) ≤ c(d, K) + \frac{d}{2} log N_{K/Q} (F_{E/K}).

Les équations de Thue et de Pell

I. L’équation de Thue II. L’équation de Pell et l’algorithme de Cornacchia III. Application des équations de Thue

Les équations de Thue et de Pell

I. L’équation de Thue

Soit f(x, y) un polynôme homogène, irréductible sur Q, de degré n à coefficients dans ZZ . Soit m un entier non nul. L’équation

(1)  f(x, y) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{n−i}y^{i} = m

en entiers x et y est appelée équation de Pell si n = 2 et équation de Thue si n ≥ 3. Lorsque n ≥ 3, cette équation n’admet qu’un nombre fini de solutions (théorème de Thue) contrairement au cas n = 2 où elle peut en avoir une infinité. En 1968, A. Baker [Bak] a explicité une borne pour les solutions de cette équation lorsque n ≥ 3:

max(|x|, |y|) < exp (n^{ν^{2}}H^{νn^{3}} + (log |m|)^{2n+2}) ,

où ν = 128n(n + 1) et H = max |a_{i}|. Cette borne est encore trop grande pour qu’elle soit effectivement utilisable sur les machines actuelles. Si (x, y) est une solution de (1) où y est négatif, alors on peut écrire:

∑_{i=0}^{n} a_{i}(−x)^{n−i}(−y)^{i} = (−1)^{n}m.

On peut donc remplacer l’équation (1) par l’équation f(x, y) = ±m en entiers x ≠ 0 et y > 0. Dans la suite, on supposera que m > 0 et on ne cherchera que les solutions (x, y) vérifiant y > 0 et (y, m) = 1. Cette équation devient donc le cas particulier z = ±1 de l’équation:

(2)  f(x, y) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{n−i}y^{i} = mz

en entiers x, y, z où y > 0, (y, m) = 1 et z ≠ 0. On considère la congruence qui lui est attachée:

(3)  ∑_{i=0}^{n} a_{i}t^{n−i} ≡ 0 (mod m)

avec 0 ≤ |t| ≤ m/2. Le lemme suivant détermine le lien entre la congruence (3) et l’équation (2).

Lemme 1. L’équation (2) a une solution (x, y, z) telle que (m, y) = 1 si et seulement si la congruence (3) a une solution t vérifiant 0 ≤ |t| ≤ m/2. Si (x, y, z) est une solution de (2) avec (m, y) = 1, alors t ≡ xy^{−1} (mod m) avec 0 ≤ |t| ≤ m/2 est une solution de (3) et il existe un entier u tel que x = ty − mu.

Preuve. Si (x, y, z) est une solution de (2) avec (m, y) = 1 et si t ≡ xy^{−1} (mod m), avec 0 ≤ |t| ≤ m/2, alors t est une solution de (3). De plus, il existe un entier u tel que x = ty − mu. Inversement, si t est une solution de (3), alors il existe un entier q tel que f(t, 1) = mq et donc (t, 1, q) est une solution de (2). De plus, si u et v avec (v, m) = 1 sont deux entiers quelconques, alors:

f(tv − mu, v) ≡ v^{n} ∑_{i=0}^{n} a_{i}t^{n−i} ≡ 0 (mod m),

et donc (tv − mu, v, f(tv − mu, v)/m) est une autre solution de (2). ■

On pose g(x) = f(x, 1) pour tout x ∈ C . Puisque f est irréductible sur Q, l’équation g(θ) = 0 a n racines distinctes dans C . On les note θ_{i} (i = 1, …, n).

Théorème 1. Soit (x, y, ±1) une solution de (2) avec y ≥ 1 et (m, y) = 1. Soit t ≡ xy^{−1} (mod m), 0 ≤ |t| ≤ m/2. Soit θ_{i_{0}} une racine vérifiant |x − yθ_{i_{0}}| = min_{1≤i≤n} |x − yθ_{i}|. On pose:

V_{0}(θ_{i_{0}}) = (\frac{2^{n−1}m}{|g′(θ_{i_{0}})Im(θ_{i_{0}})|})^{1/n} si θ_{i_{0}} ∈ C − R I ,

V_{1}(θ_{i_{0}}) = (\frac{2^{n}}{|g′(θ_{i_{0}})|})^{1/(n−2)} si n ≥ 3 ,

Δ = a_{1}^{2} − 4a_{0}a_{2} si n = 2 .

Alors on a les deux propriétés suivantes:

(i) Si θ_{i_{0}} ∈ C − R I alors y ≤ V_{0}(θ_{i_{0}}). (ii) Si n ≥ 3 et y ≥ V_{1}(θ_{i_{0}}) ou si n = 2 et |Δ| ≥ 16, alors il existe une réduite u/v de la fraction continue de \frac{t − ℜe (θ_{i_{0}})}{m} telle que x = tv − mu et y = v.

Preuve. D’après la définition de i_{0}, on a:

∏_{i≠i_{0}} |\frac{x}{y} − θ_{i}| ≥ \frac{1}{2^{n−1}} ∏_{i≠i_{0}} (|\frac{x}{y} − θ_{i_{0}} | + |\frac{x}{y} − θ_{i}|) ≥ \frac{1}{2^{n−1}} ∏_{i≠i_{0}} |θ_{i_{0}} − θ_{i}| = \frac{|g′(θ_{i_{0}})|}{2^{n−1}|a_{0}|} .

On obtient alors:

(4)  |\frac{x}{y} − θ_{i_{0}} | = \frac{m}{|a_{0} ∏_{i≠i_{0}}(x/y − θ_{i})| y^{n}} ≤ \frac{2^{n−1}m}{|g′(θ_{i_{0}})|y^{n}} .

(i) Si θ_{i_{0}} ∈ C − R I , alors:

|Im(θ_{i_{0}})| ≤ |\frac{x}{y} − θ_{i_{0}} | ≤ (\frac{V_{0}(θ_{i_{0}})}{y})^{n} |Im(θ_{i_{0}})| ,

ce qui implique que y ≤ V_{0}(θ_{i_{0}}). (ii) La relation (4) donne aussi:

|\frac{x}{y} − ℜe (θ_{i_{0}})| ≤ \frac{2^{n−1}m}{|g′(θ_{i_{0}})|y^{n}} .

Soit t ≡ xy^{−1} (mod m). Soient u et v tels que y = v et x = tv − mu. Alors:

|\frac{u}{v} − \frac{t − ℜe (θ_{i_{0}})}{m}| ≤ \{ \begin{matrix}(\frac{V_{1}(θ_{i_{0}})}{v})^{n−2} \frac{1}{2v^{2}} & si n ≥ 3, \\ \frac{2}{\sqrt{|Δ|}v^{2}} & si n = 2. \end{matrix}

Ainsi, si n ≥ 3 et y ≥ V_{1}(θ_{i_{0}}) ou si n = 2 et |Δ| ≥ 16, alors, d’après le théorème 2 de l’annexe B, u/v est une réduite de la fraction continue de \frac{t − ℜe (θ_{i_{0}})}{m}. ■

Remarques

(i) D’après le théorème de Roth, l’inégalité (4) implique, lorsque n ≥ 3, que l’equation (1) ne peut admettre qu’un nombre fini de solutions. Ce résultat est l’un des théorèmes de Thue. (ii) Le théorème 1 donne une borne inférieure pour y, indépendante de m, pour que (x, y) provienne d’une réduite d’une fraction continue d’un certain nombre \frac{t − ℜe (θ_{i})}{m} où t est une solution de la congruence (3) et où θ_{i} est une solution de l’équation g(θ) = 0, mais il ne permet pas de déterminer toutes les solutions de l’équation (1) lorsque n ≥ 3 car on ne connait pas une borne supérieure accessible dans la pratique pour les solutions. De nombreuses méthodes permettent cependant de déterminer toutes les solutions de l’équation (1), mais elles sont plus coûteuses: il faut disposer d’un système d’unités fondamentales du corps Q (θ), où θ est une solution de l’équation g(x) = 0. Les méthodes de Gelfond-Baker sur les formes linéaires de logarithmes permettent de trouver une borne pour les solutions.

On peut ensuite réduire cette borne en utilisant par exemple l’analogue p-adique, dû à B.M.M. de Weger, de l’algorithme L^{3} de Lenstra, Lenstra et Lovasz. Pour plus de details, on peut consulter par exemple le livre de B.M.M de Weger [Weg]. Dans la partie III de ce même chapitre, nous verrons quelques applications de la résolution des équations de Thue.

II. L’équation de Pell et l’algorithme de Cornacchia

Soient a > 0, b ≠ 0, m ≠ 0 des entiers non nuls premiers entre eux deux à deux. Dans cette partie, on présente deux algorithmes pour résoudre des équations de Pell:

ax^{2} − by^{2} = m,

en entiers x et y avec y > 0 et (x, y) = 1. On supposera le long de cette partie que a, b et m sont tels que la congruence

at^{2} − b ≡ 0 (mod m),

soit résoluble. Si ce n’est pas le cas, on peut toujours s’y ramener en simplifiant m par des carrés s^{2} tels que s^{2}|m. La proposition suivante lie la congruence ci-dessus à l’équation de Pell.

Proposition 1. Soient a > 0, b ≠ 0 et m des entiers premiers entre eux deux à deux. Si la congruence at^{2} − b ≡ 0 (mod m), est résoluble, alors toute solution (x, y) de l’équation ax^{2} − by^{2} = m, vérifie (x, y) = 1, (x, m) = 1 et (y, m) = 1.

Preuve. Soit (x, y) une solution de l’équation ax^{2} − by^{2} = m. D’après le lemme 1, il existe une solution t de la congruence at^{2} − b ≡ 0 (mod m) avec 0 ≤ |t| ≤ |m|/2 et deux entiers u et v tels que x = tv − mu et y = v. Soit q tel que at^{2} − b = mq, alors:

ax^{2} − by^{2} = a(tv − mu)^{2} − bv^{2} = m(qv^{2} − 2atuv + amu^{2}) = m,

et donc qv^{2} − 2atuv + amu^{2} = 1. Cette dernière égalité implique donc que (u, v) = 1 et (v, m) = 1. Ainsi, on a (y, m) = 1 et par suite (x, m) = 1 et (x, y) = 1. ■

Les algorithmes que nous allons décrire comportent deux phases: résolution de la congruence at^{2}−b ≡ 0 (mod m) attachée à à l’équation de Pell ax^{2}−by^{2} = m, puis calcul de réduites du dévelopement en fraction continue de certains nombres réels. Commençons par étudier la congruence.

1. Résolution de la congruence at^{2} − b ≡ 0 (mod m)

Soient a > 0, b ≠ 0 et m > 0 des entiers premiers entre eux deux à deux. Nous allons commencer par étudier la congruence

at^{2} − b ≡ 0 (mod m),

avec 0 ≤ t ≤ m/2. Puisque (a, m) = 1, alors ba^{−1} existe modulo m et en posant d ≡ ba^{−1} (mod m), on est ramené à étudier la nouvelle congruence:

(5)  t^{2} ≡ d (mod m),

avec 0 ≤ |t| < m/2. L’égalité t = 0 ne se produit que si m = 1. Ecartons ce cas et écrivons m sous forme de produit de facteurs premiers:

m = 2^{e_{0}}p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}} ⋯ p_{r}^{e_{r}},

avec e_{0} = 0 si m est impair, e_{0} ≥ 1 si m est pair, e_{i} ≥ 1 pour 1 ≤ i ≤ r et 3 ≤ p_{1} < … < p_{r} où chaque p_{i} est un nombre premier. La congruence (5) est alors équivalente au système suivant:

\{ \begin{matrix}t^{2} ≡ d (mod 2^{e_{0}}), \\ t^{2} ≡ d (mod p_{i}^{e_{i}}) 1 ≤ i ≤ r. \end{matrix}

On peut donc résoudre séparément ces r (si e_{0} = 0) ou ces r + 1 (si e_{0} ≥ 1) équations et utiliser le théorème des restes chinois pour déterminer les solutions de (5).

a. Résolution de la congruence t^{2} ≡ d (mod 2^{e_{0}})

On cherche les solutions t de la congruence:

(6)  t^{2} ≡ d (mod 2^{e_{0}}),

tels que 0 < |t| ≤ 2^{e_{0}−1}. On suppose donc que e_{0} ≥ 1 et que d est impair. On distingue les cas suivants :

- Si e_{0} = 1, alors d ≡ 1 (mod 2), et donc t = 1.

- Si e_{0} = 2, alors d ≡ 1 (mod 4) ou d ≡ 3 (mod 4). Si d ≡ 1 (mod 4), alors t = ±1. Si d ≡ 3 (mod 4) la congruence (6) n’admet pas de solution.

- Si e_{0} ≥ 3, alors toute solution t de (6) avec 0 < t < 2^{e_{0}−1} vérifie t^{2} ≡ d (mod 8). Si d ≢ 1 (mod 8), alors il n’y a pas de solution, et donc (6) n’admet pas de solution. Si d ≡ 1 (mod 8), il y a quatre solutions t telles que t ≡ ±1, ±3 (mod 8). On peut ensuite déterminer une solution de la congruence (6) avec 0 < t < 2^{e_{0}−1} en appliquant la méthode de Newton pour la résolution des équations dans les corps complets. Ici, il s’agit de Q_{2}, corps des nombres 2-adiques (voir [Bac] p. 52). Le lemme de Hensel garantit la convergence de cette méthode. Connaissant une solution t, 0 < t < 2^{e_{0}−1}, on peut déterminer les trois autres solutions pour la congruence (6) en prenant −t, ±(2^{e_{0}−1} − t). La méthode de Newton consiste à définir une suite a_{3}, a_{4}, ⋯, a_{e_{0}} de la manière suivante:

\{ \begin{matrix}a_{3} = 1, \\ a_{k+1} ≡ a_{k} − \frac{(a_{k}^{2} − d)}{2} (mod 2^{k}), 3 ≤ k ≤ e_{0} − 1, 0 < a_{k+1} < 2^{k}. \end{matrix}

Alors une solution de la congruence (6) est t = a_{e_{0}}. Sachant que 0 < a_{e_{0}} < 2^{e_{0}−1}, les autres solutions sont −a_{e_{0}}, et ±(2^{e_{0}−1} − a_{e_{0}}).

b. Résolution de la congruence t^{2} ≡ d (mod p_{i}^{e_{i}}), p_{i} premier impair

Pour e_{i} ≥ 1 et p_{i} premier impair, on veut maintenant résoudre la congruence:

(7)  t^{2} ≡ d (mod p_{i}^{e_{i}})

avec 0 < |t| < p_{i}^{e_{i}}/2. Toute solution de cette congruence vérifie:

(8)  t^{2} ≡ d (mod p_{i}).

Cette dernière congruence n’admet de solution que si d est un résidu quadratique modulo p_{i}. On peut donc utiliser le symbole de Legendre:

- Si (\frac{d}{p_{i}} ) = −1, la congruence (8) n’a pas de solution et donc (7) n’a pas de solution.

- Si (\frac{d}{p_{i}} ) = 1, la congruence (7) admet exactement deux solutions t vérifiant 0 < |t| < p_{i}^{e_{i}}/2. Mettons-nous dans le cas où la congruence (8) a des solutions. Si p_{i} ≡ 3 (mod 4), alors les solutions de cette congruence sont:

t ≡ ±d^{(p_{i}+1)/4} (mod p_{i}), 0 < |t| < p_{i}/2.

Si p_{i} ≢ 3 (mod 4), on peut utiliser l’algorithme Ressol décrit en appendice C pour déterminer une solution de la congruence (8). Supposons maintenant qu’une solution t_{i,1} de cette congruence est connue. Le lemme de Hensel et la méthode de Newton, appliqués dans le corps p-adique Q_{p_{i}}, permettent alors de déterminer une solution de la congruence (7), en définissant une suite a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{e_{i}} de la façon suivante:

\{ \begin{matrix}a_{1} = t_{i,1}, \\ a_{k+1} ≡ a_{k} − (2a_{k})^{−1}(a_{k}^{2} − d) (mod p_{i}^{k+1}), 1 ≤ k ≤ e_{i} − 1, 0 < |a_{k+1}| < p_{i}^{k+1}/2, \end{matrix}

où (2a_{k})^{−1} est l’inverse a′ de 2a_{k} modulo p_{i} vérifiant 0 < a′ < p_{i}. Alors les deux solutions de la congruence (8) sont t = ±a_{e_{i}}.

c. Nombres de solutions de la congruence t^{2} ≡ d (mod m)

Supposons que la congruence (6) a une solution t_{0} avec 0 < t_{0} < 2^{e_{0}−1} et les congruences (7) ont des solutions t_{i} avec 0 < t_{i} < p_{i}^{e_{i}}. Toutes les solutions de la congruence (5) peuvent être déterminées en appliquant le théorème des restes chinois au système suivant:

(9)  \{ \begin{matrix}t ≡ ±t_{0}, ±(2^{e_{0}−1} − t_{0}) (mod 2^{e_{0}}), \\ t ≡ ±t_{i} (mod p_{i}^{e_{i}}), 1 ≤ i ≤ r, \end{matrix}

avec 0 < |t| < m/2. On distingue quatre possibilités suivant les valeurs de e_{0}:

- Si e_{0} = 0, alors le système (9) et donc la congruence (5) admettent 2^{r} solutions.

- Si e_{0} = 1, alors la congruence (6) n’a qu’une solution et donc le système (9) et la congruence (5) admettent 2^{r} solutions.

- Si e_{0} = 2, alors la congruence (6) a deux solutions et donc le système (9) et la congruence (5) admettent 2^{r+1} solutions.

- Si e_{0} ≥ 3, la congruence (6) a quatre solutions et donc le système (9) et la congruence (5) admettent 2^{r+2} solutions. ■

2. L’algorithme de Cornacchia

Soient a, b et c des entiers strictement positifs, premiers entre eux deux à deux et tels que m > 2. On considère l’équation:

(10)  ax^{2} + by^{2} = m,

en entiers x ≠ 0, y > 0 et tels que (y, m) = 1 et la congruence:

(11)  t^{2} ≡ −ba^{−1} (mod m),

avec 0 < |t| < m/2.

Dans cette partie, nous donnons une nouvelle démonstration de l’algorithme de Cornacchia, qui date de 1908 (voir [Cor]) et qui permet de déterminer les solutions de l’équation (10). Cette démonstration se distingue particulièrement par sa simplicité de celles qui sont décrites récemment dans [Ha-Mu-Wi] et [Mor]. Voici une description de l’algorithme de Cornacchia.

Résoudre la congruence t^{2} ≡ ba^{−1} (mod m). Pour chaque solution t avec 0 < t < m/2, appliquer l’algorithme d’Euclide à t et m et déterminer le premier reste r < \sqrt{m/a}. Alors s’il ya une solution pour l’équation (10), elle est de la forme (r, \sqrt{(m − ar^{2})/b}).

a. Résolution de l’équation ax^{2} + by^{2} = m

Le théorème 1 a pour conséquence le corollaire suivant, dont nous donnons une autre preuve, plus directe.

Corollaire 1. Toute solution (x, y) de l’équation (10) vérifiant x ≠ 0, y > 0 et (y, m) = 1 provient d’une réduite de la fraction continue de t/m où t est tel que t ≡ xy^{−1} (mod m) et 0 < |t| < m/2.

Preuve. Soit (x, y) une solution de l’équation (10). Soit t tel que t ≡ xy^{−1} (mod m) et 0 < |t| < m/2. Le lemme 1 implique qu’il existe deux entiers u et v tels que y = v et x = tv − mu. Puisque 2|x|y < ax^{2} + by^{2} = m, alors:

|\frac{u}{v} − \frac{t}{m}| = \frac{|x|}{mv} ≤ \frac{1}{2v^{2}} .

Il en résulte alors, d’après le théorème 2 de l’appendice B que u/v est une réduite de t/m. ■ La proposition suivante montre qu’une solution t de la congruence (11) donne au plus une solution pour l’équation (10), et donc que le nombre de solutions de cette équation est au plus égal au nombre de solutions de la congruence (11).

Proposition 2. Soit t une solution de la congruence (11). Si (x, y) et (x′, y′) sont deux solutions de l’équation (10) vérifiant x ≡ ty (mod m) et x′ ≡ ty′ (mod m), alors x = x′ et y = y′.

Preuve. Des congruences x ≡ ty (mod m) et x′ ≡ ty′ (mod m), on tire:

axx′ + byy′ ≡ (at^{2} + b)yy′ ≡ 0 (mod m),

et donc axx′+byy′ = mq_{1}. On a de même xy′−yx′ ≡ 0 (mod m) et donc xy′−yx′ = mq_{2}. Des égalités ax^{2} + by^{2} = m, et ax^{′2} + by^{′2} = m, on tire:

(axx′ + byy′)^{2} + ab(xy′ − yx′)^{2} = m^{2},

ce qui donne:

q_{1}^{2} + abq_{2}^{2} = 1,

et donc q_{2} = 0. Alors x/y = x′/y′, ce qui donne x = x′ et y = y′ puisque y > 0, y′ > 0, (x, y) = 1 et (x′, y′) = 1. ■

Nous donnons maintenant la démonstration de l’algorithme de Cornacchia. Nous dirons qu’une solution t de la congruence (11) produit une solution s’il existe une réduite u/v de t/m telle que (x, y) est une solution de l’équation (10) avec x = tv − mu et y = v.

Théorème 2. Soit t une solution de la congruence (11) avec 0 < |t| < m/2. Soient u_{i}/v_{i}, i = −2, −1, ⋯ les réduites de t/m. Si t produit une solution (x_{k}, y_{k}) pour l’équation (10), avec x_{k} = tv_{k} − mu_{k} et y_{k} = v_{k}, alors k est le plus petit entier i ≥ 0 tel que |x_{i}| ≤ \sqrt{m/a}.

Preuve. Si une solution t de la congruence (11) produit une solution, alors d’après le corollaire 1, elle est de la forme x_{k} = tv_{k} − mu_{k}, y_{k} = v_{k} où u_{k}/v_{k} est une réduite de t/m, avec k ≥ 0. On a alors:

|x_{k}| ≤ \sqrt{m/a}.

On sait (voir [Ni-Zu-Mo]) que la suite (u_{i}/v_{i})_{i≥0} des réduites de t/m vérifie pour tout i ≥ 1:

|tv_{i} − mu_{i}| < |tv_{i−1} − mv_{i−1}| et y_{i−1} ≤ y_{i}.

Soit i_{0} ≥ 0 le plus petit entier tel que |x_{i_{0}}| ≤ \sqrt{m/a}. Si i_{0} < k, alors y_{i_{0}} ≤ y_{k} et donc (x_{i_{0}}, y_{i_{0}}) est aussi une solution de l’équation (10) produite par t, ce qui n’est pas possible d’après la proposition 2. ■

Pour résoudre l’équation (10), il suffit donc de développer les différents rationnels t/m en fraction continue, où t décrit l’ensemble des solutions de la congruence (11). Le lemme suivant montre qu’il suffit de considérer uniquement les solutions t tels que 0 < −t < m/2.

Lemme 2. Soit t, 0 < t < m/2, une solution de la congruence (11). Toute convergente de t/m est l’opposée d’une convergente de −t/m.

Preuve. Développons t/m en fraction continue, t/m = [a_{0}, a_{1}, a_{2}, …, a_{k}] avec a_{k} ≥ 2. On a a_{0} = [t/m] = 0 et a_{1} = [m/t] ≥ 2. Alors

−t/m = [−1, 1, a_{1} − 1, a_{2}, a_{3}, …, a_{k}].

Soient u_{i}/v_{i} et u′_{i}/v′_{i}, i = −2, −1, … les réduites de t/m et −t/m respectivement. Alors il est simple de montrer que pour tout i ≥ 1, u′_{i} = −u_{i−1} et v′_{i} = v_{i−1}. ■

Remarque. Le lemme 2 montre que nous aurons à développer en fraction continue uniquement les rationnels −t/m avec 0 < t < m/2. En effet, si u/v est une réduite de t/m, alors −u/v est une réduite de −t/m et si (x, y) est une solution produite par t, alors |x| = |tv − mu| = | − tv + mu|. Ceci signifie que toute solution produite par t peut être produite par −t, à un signe près. Nous donnons maintenant un algorithme pour résoudre complètement l’équation (10). b. Algorithme 1. (ax^{2} + by^{2} = m) Entrée: a > 0, b > 0, m = 2^{e_{0}}p_{1}^{e_{1}} ⋯ p_{r}^{e_{r}}. Initialisation: Déterminer les solutions t_{j}, j = 1, ⋯, n_{0} de t^{2} ≡ −ba^{−1} (mod m) telles que 0 < t_{j} < m/2;

j := 0;

Tant que j ≤ n_{0} − 1 répéter
j := j + 1;
y_{−1} := 0;
i := −1;
q := 0;
Tant que y_{i} < \sqrt{m/b} et q ≠ 1 répéter
i := i + 1;
Calculer la réduite \frac{u_{i}}{y_{i}} de −\frac{t_{j}}{m};
x_{i} := t_{j}y_{i} + mu_{i};
Si |x_{i}| ≤ \sqrt{m/a} alors
q := (ax_{i}^{2} + by_{i}^{2})/m;
Si q = 1 alors écrire x_{i} et y_{i};

Sortie: x et y tels que ax^{2} + by^{2} = m. ■ c. Complexité de l’algorithme 1 Nous allons maintenant déterminer la complexité de l’algorithme 1. Théorème 3. Si la factorisation de m est donnée et si pour chaque nombre premier p divisant m, un non-résidu quadratique modulo p est connu, alors l’algorithme 1 détermine une solution pour l’équation (10) en:

O (log^{2} m) .

Preuve. Dans cet algorithme, nous supposons que la factorisation de m est donnée. Dans la phase d’initialisation, le calcul de a^{−1} (mod m) se fait par l’algorithme d’Euclide en:

O (log m) .

Posons d ≡ −ba^{−1} (mod m). Pour chaque nombre premier impair p_{i}, 1 ≤ i ≤ r, le calcul du symbole de Legendre (d/p_{i}) se fait en(voir [Ros]):

O (log^{2} p_{i}) .

L’algorithme Ressol (voir Appendice C ) peut déterminer une solution de la congruence t^{2} ≡ d (mod p_{i}) en:

O (log p_{i}) ,

en supposant connu un non-résidu quadratique modulo p_{i}. Si pour un nombre premier p_{i}, une solution de la congruence t^{2} ≡ d (mod p_{i}) est connue, la congruence t^{2} ≡ d (mod p_{i}^{e_{i}}) peut être résolue par la méthode de Newton en

O (e_{i} log p_{i}) .

Une solution pour chaque congruence t^{2} ≡ d (mod p_{i}^{e_{i}}) peut donc être déterminée en:

O (log^{2} p_{i}) + O (log p_{i}) + O (e_{i} log p_{i}) = O (e_{i} log^{2} p_{i}) .

Globalement pour les r congruences t^{2} ≡ d (mod p_{i}^{e_{i}}), on a:

∑_{i=1}^{r} O (e_{i} log^{2} p_{i}) = O (log^{2} m) .

Le théorème des restes chinois permet alors de déterminer une solution pour la congruence t^{2} ≡ d (mod m) en:

O (log^{2} m) .

Pour chaque solution t, 0 < t < m/2 de la congruence ci-dessus, il s’agit ensuite de calculer les réduites u_{i}/v_{i} de −t/m. Ceci se fait en:

O (log m) .

La vérification des entiers x_{i} = tv_{i} + mu_{i} dans l’équation (10) se fait donc en:

O (log m) .

Finalement, pour chaque solution de la congruence t^{2} ≡ d (mod m), la détermination d’une solution pour l’équation (10) se fait en:

O (log^{2} m) .

Cette complexité ne dépend ni de a ni de b car 0 < a, b < m. ■

Remarques. 1) En théorie, lorsque m est très grand, sa factorisation peut se faire par exemple suivant la méthode du crible algébrique [L-L-M-P] en:

O (exp ((log m)^{1/3}(log log m)^{2/3})) .

2) La détermination d’un non-résidu quadratique modulo un nombre premier p se fait en (voir [Ha-Mu-Wi]):

O (p^{(4\sqrt{e})^{−1}+ε}) ,

où ε > 0 est une constante absolue. En pratique un tel non-résidu peut être déterminé souvent rapidement en testant les premiers entiers.

Corollaire 2. Si la factorisation de m est donnée et si pour chaque nombre premier p divisant m, un non-résidu quadratique modulo p est connu, alors la complexité de l’algorithme 1 est:

O (2^{ε log m/log log m}) ,

où ε est une constante absolue.

Preuve. Chaque solution de la congruence at^{2} + b ≡ 0 (mod m) peut donner au plus une solution de l’équation ax^{2} + by^{2} = m. La détermination de toutes les solutions de cette équation est donc en:

O (2^{r+1} log^{2} m) = O (2^{ε log m/log log m}) ,

où ε est une constante absolue. Ceci résulte du fait que le nombre de diviseurs premiers de m est tel que:

r + 1 = (1 + o(1)) log m/ log log m.

Cette complexité ne dépend pas de a et de b. ■

3. L’équation de Pell

a. Résolution de ax^{2} − by^{2} = m

Soient a > 0, b > 0 et m ≠ 0 des entiers premiers entre eux deux à deux. Soit (x, y) une solution de l’équation

(12)  ax^{2} − by^{2} = m,

avec y > 0 et (m, y) = 1. On suppose que a/b n’est pas un carré parfait.

Définition 1. Deux solutions (x, y) et (x′, y′) de l’équation (12) sont associées si et seulement si elles vérifient le système:

(13)  \{ \begin{matrix}axx′ − byy′ ≡ 0 (mod m), \\ xy′ − yx′ ≡ 0 (mod m). \end{matrix}

Les solutions associées entre elles forment une classe. La solution fondamentale d’une classe est la solution (x, y) telle que |x| et y sont minimaux avec en plus x > 0 si (−x, y) et (x, y) sont associées, c’est à dire si la classe de solutions est ambigue. On désigne par (α, β) la solution fondamentale de l’équation

(14)  x^{2} − aby^{2} = 1.

Proposition 3. Toute solution fondamentale (x_{1}, y_{1}) d’une classe de solutions de l’équation (12) vérifie:

(15)  \{ \begin{matrix}|x_{1}| ≤ \sqrt{\frac{(α + ε)|m|}{2a}} , \\ y_{1} ≤ β\sqrt{\frac{a|m|}{2(α + ε)}} , \end{matrix}

avec ε =signe(m).

Preuve. Définissons une nouvelle solution (x_{2}, y_{2}) de l’équation (12) par:

x_{2}\sqrt{a} + y_{2}\sqrt{b} = (x_{1}\sqrt{a} + y_{1}\sqrt{b}) (α − β\sqrt{ab}) .

Supposons d’abord que m > 0, alors:

x_{2} = αx_{1} − βby_{1} = αx_{1} − \sqrt{β^{2}ab}\sqrt{y_{1}^{2}b}/\sqrt{a} = αx_{1} − \sqrt{α^{2} − 1}\sqrt{ax_{1}^{2} − m}/\sqrt{a} > 0.

Donc, puisque (x_{1}, y_{1}) est la solution fondamentale de sa classe, x_{2} = αx_{1} − βby_{1} > x_{1} et x_{1}(α − 1) ≥ βby_{1}. D’où

x_{1}^{2}(α − 1)^{2} ≥ β^{2}b^{2}y_{1}^{2} = (α^{2} − 1)(ax_{1}^{2} − m)/a,

ce qui donne la première inégalité de (15). Supposons maintenant que m < 0. Des inégalités α^{2} − abβ^{2} > 0 et by_{1}^{2} − ax_{1}^{2} > 0, on tire α^{2}y_{1}^{2} > a^{2}β^{2}x_{1}^{2}, puis αy_{1} − aβx_{1} > 0. D’après la définition de (x_{1}, y_{1}), on a:

y_{2} = αy_{1} − aβx_{1} ≥ y_{1}.

Alors

(α − 1)^{2}by_{1}^{2} ≥ a^{2}bβ^{2}x_{1}^{2},

d’où l’on tire:

(α − 1)^{2}(ax_{1}^{2} − m) ≥ (α^{2} − 1)ax_{1}^{2},

puis la première inégalité (15). Maintenant, la première inégalité de (15) donne:

by^{2} = ax^{2} − m ≤ a\frac{(α + ε)|m|}{2a} − m = \frac{|m|(α − ε)}{2}.

Or α^{2} − ε^{2} = abβ^{2}. Alors:

by^{2} ≤ \frac{a|m|β^{2}}{2(α + ε)},

ce qui donne la deuxième inégalité de (15). ■

Le théorème suivant lie les solutions de la congruence (5) et les classes de solutions de l’équation (12).

Théorème 4. Soient a > 0, b > 0 et m des entiers tels que la congruence (5) soit résoluble. Toute classe de solutions de l’équation (12) est de la forme

K(t) = {(x, y) ∈ ZZ^{2}|ax^{2} − by^{2} = m, x ≡ ty (mod m)},

où t est une solution de la congruence t^{2} ≡ ba^{−1} (mod m).

Preuve. Soit K une classe de solutions de (12). Elle admet une solution fondamentale (x_{0}, y_{0}). Soit t l’entier vérifiant

x_{0} ≡ ty_{0} (mod m), et 0 ≤ |t| ≤ |m|/2.

Alors t est une solution de la congruence t^{2} ≡ ba^{−1} (mod m). Les autres solutions (x, y) de cette classe sont liées à (x_{0}, y_{0}) par les relations (13). En les simplifiant, alors x ≡ ty (mod m) et donc que K = K(t). ■

Ce théorème montre que le nombre de classes de solutions de l’équation (12) est au plus égal au nombre de solutions de la congruence t^{2} ≡ ba^{−1} (mod m). Si (x_{t}, y_{t}) est la solution fondamentale d’une classe K(t) et (α, β) celle de l’équation (14), alors les autres solutions (x, y) de la classe K(t) sont données par la relation:

x\sqrt{a} + y\sqrt{b} = ± (x_{t}\sqrt{a} + y_{t}\sqrt{b}) (±α + β\sqrt{ab})^{n} ,

où n ∈ ZZ . D’après le théorème 1, on sait résoudre toutes les équations (12) dans lesquelles ab ≥ 4. Il reste donc à examiner les cas ab = 2, ab = 3, c’est à dire les cas (a, b) = (1, 2) et (a, b) = (1, 3). On va montrer maintenant que ces cas ne sont à étudier que lorsque m < 0. Dans les deux cas qui suivent, on a a = 1 et b = 2, 3.

(a) Supposons que m > 0. Alors toute solution (x, y) de (12) est telle que x^{2}−by^{2} = m > 0 et donc:

\frac{|x|}{y} > \sqrt{b}.

D’autre part, toute solution de (12) est déterminée par x = tv − mu ≠ 0 et y = v, où t vérifie x ≡ ty (mod m) avec 0 ≤ |t| ≤ m/2, alors, en désignant par δ le signe de x et en utilisant la relation:

|\frac{x}{y} + δ\sqrt{b}| = \frac{|x|}{y} + \sqrt{b} > 2\sqrt{b} > 2,

on a:

|\frac{x}{y} − δ\sqrt{b}| = \frac{m}{|x/y + δ\sqrt{b}| y^{2}} < \frac{m}{2y^{2}} ,

ce qui implique:

|\frac{t − δ\sqrt{b}}{m} − \frac{u}{v}| < \frac{1}{2v^{2}} .

Il en résulte alors que \frac{u}{v} est une réduite de \frac{t − δ\sqrt{b}}{m}.

(b) Si m < 0 et b = 2 (avec a = 1), alors toute solution (x, y) de (12) est déterminée par le produit:

x + y\sqrt{2} = (U + V \sqrt{2})(±1 + \sqrt{2})^{2n+1}

où n ∈ ZZ et où (U, V) est une solution de l’équation:

U^{2} − 2V^{2} = −m

qui peut être résolue par la méthode précédente puisque −m > 0.

Si m < 0 et b = 3, alors en multipliant (12) par −3 et en posant V = x et U = 3y, on obtient l’équation équivalente:

U^{2} − 3V^{2} = −3m

où −3m > 0 et qui peut donc être résolue par la méthode décrite au (a).

Dans la partie 4 qui suit, on va écrire un algorithme pour résoudre les équations de Pell avec ab ≥ 4. Cet algorithme est basé sur le calcul des réduites u/v de nombres réels (t ± \sqrt{b/a}) /m, puis de −(t ± \sqrt{ba}) /m pour le second algorithme, pour chaque solution t, 0 ≤ t ≤ |m|/2 de la congruence t^{2} ≡ ba^{−1} (mod m). On peut économiser les calculs en utilisant le lemme suivant:

Lemme 3. Soit ξ un nombre réel. On pose ν = ξ − [ξ]. Alors:

i) Si ν ≤ 1/2, alors toute réduite de ξ est l’opposée d’une réduite de −ξ. ii) Si ν > 1/2 alors toute réduite de −ξ est l’opposée d’une réduite de ξ.

Preuve. Développons ξ en fraction continue, ξ = [a_{0}, a_{1}, a_{2}, …]. On a a_{0} = [ξ] et a_{1} = [1/ν]. Pour démontrer (i), supposons que ν ≤ 1/2. Alors a_{1} ≥ 2 et

−ξ = [−a_{0} − 1, 1, a_{1} − 1, a_{2}, a_{3}, …].

Soient u_{i}/v_{i} et u′_{i}/v′_{i}, i = −2, −1, … les réduites de ξ et −ξ respectivement. Alors il est simple de montrer que pour tout i ≥ 1, u′_{i} = −u_{i−1} et v′_{i} = v_{i−1}. Pour démontrer (ii), il suffit de remarquer si ξ − [ξ] > 1/2, alors −ξ − [−ξ] ≤ 1/2. On peut donc appliquer (i) en remplaçant ξ par −ξ. ■

Il existe d’autres algorithmes pour résoudre les équations de Pell, en particulier, celui qui est décrit dans [Fai] utilise des notions algébriques plus générales que celles utilisées dans notre version.

b. Algorithme 2. (ax^{2} − by^{2} = m)

L’algorithme qu’on va écrire maintenant suppose qu’on a l’une ou l’autre des conditions (a) ou (b) suivantes:

(a) m > 0,

(b) m < 0 et ab ≥ 4. Comme on l’a vu précédemment, les cas (a, b) = (1, 2) ou (a, b) = (1, 3) peuvent toujours se remener au cas (a) ou au cas (b).

Entrée: a > 0, b ≠ 0, m = 2^{e_{0}}p_{1}^{e_{1}} ⋯ p_{r}^{e_{r}};

La solution fondamentale (α, β) de l’équation x^{2} − aby^{2} = 1;

Initialisation: Déterminer les solutions t_{j}, j = 1, ⋯, n_{0} de t^{2} ≡ ba^{−1} (mod m) telles que 0 < |t_{j}| < m/2;

s :=signe(m);
j := 0;
Tant que j ≤ n_{0} − 1 répéter

j := j + 1; h := 0; Tant que h ≤ 1 répéter h := h + 1; Si h = 1 alors ε := −1 sinon ε := 1; ξ_{j,h} := (t_{j} + ε\sqrt{b/a})/m. Si ξ_{j,h} − [ξ_{j,h}] > 1/2 faire

i := 0;
y_{0} := 1;
q := 0;
Tant que y_{i} < β\sqrt{a|m|/2(α + s)} et q ≠ 1 répéter
x_{i} := t_{j}y_{i} − mu_{i};
Si |x_{i}| < \sqrt{(α + s)|m|/2a} faire
q := (ax_{i}^{2} − by_{i}^{2})/m;
Si q = 1 écrire x_{i} et y_{i};
i := i + 1;
Calculer la réduite u_{i}/y_{i} de ξ_{j,h};

Sortie: Les solutions fondamentales (x, y) telles que ax^{2} − by^{2} = m. ■

c. Complexité de l’ algorithme 2

Dans cette partie, nous déterminons la complexité de l’algorithme 2.

Théorème 5. Si la factorisation de m et la solution fondamentale de l’équation x^{2} − aby^{2} = 1 sont données, alors la détermination d’une solution fondamentale pour l’équation ax^{2} − by^{2} = m se fait en:

O (\sqrt{ab} log ab|m|) .

Preuve. Une partie de la complexité de l’algorithme 2 a été étudiée dans la preuve du théorème 3. Nous supposons ici que la factorisation de m et la solution fondamentale de l’équation x^{2} − aby^{2} = 1 sont données. En théorie, la solution fondamentale peut être déterminer en:

O (\sqrt{ab} log ab) ,

(voir [Hua]), ce qui permet d’avoir la majoration suivante:

max(α, β) ≤ c_{0}^{\sqrt{ab} log ab},

où c_{0} est une constante absolue. Une solution de la congruence t^{2} ≡ ba^{−1} est déterminée (voir démonstration du théorème 3) en:

O (log^{2} m) .

Pour une solution t, il s’agit ensuite de calculer des réduites u_{i}/y_{i} de deux nombres réels liés à t en se limitant aux réduites u_{i}/v_{i} vérifiant

y_{i} < β\sqrt{a|m|/2(α ± 1)} ≤ |m|c_{0}^{\sqrt{ab} log ab}.

Ces réduites peuvent être calculées en:

O (log |m| + \sqrt{ab} log ab) = O (\sqrt{ab} log(ab|m|)) .

Ensuite, pour la même solution t, il s’agit de tester les entiers x_{i} = tu_{i} − my_{i} et y_{i} dans l’équation ax^{2} − by^{2} = m. Ceci se fait en:

O (\sqrt{ab} log(ab|m|)) .

Ceci termine la preuve du théorème. ■

Corollaire 3. La complexité de l’algorithme 2 est:

O (2^{ε log |m|/ log log |m|}\sqrt{ab} log ab) ,

où ε > 0 est une constante absolue.

Preuve. Si la congruence t^{2} ≡ ba^{−1} (mod m) admet 2^{r+2} solutions, alors la complexité totale de l’algorithme 2 est en:

O (log^{2} |m|) + O (2^{r+1}\sqrt{ab} log ab|m|) = O (2^{ε log |m|/ log log |m|}\sqrt{ab} log ab) ,

où ε est une constante absolue. ■

III. Applications des équations de Thue

1. Le quotient de Szpiro pour quelques familles de courbes elliptiques

Rappelons que pour une courbe elliptique E définie sur Q, semi-stable, de discriminant minimal Δ_{E} et de conducteur N_{E} = r(Δ_{E}), le quotient de Szpiro est:

σ_{E} = \frac{log |Δ_{E}|}{log N_{E}}.

Soient a et b deux entiers premiers entre eux tels que ab(a − b) ≠ 0. On définit une courbe elliptique E par le modèle de Wierstrass suivant:

E : y^{2} + (b^{2} + ab − a^{2})xy + a^{2}b^{3}(b − a)y = x^{3} + a^{2}b(b − a)x^{2}.

Ses invariants c_{4}(a, b) et Δ(a, b) sont:

\begin{matrix}c_{4}(a, b) = (a^{2} − ab + b^{2})(a^{6} − 11a^{5}b + 30a^{4}b^{2} − 15a^{3}b^{3} − 10a^{2}b^{4} + 5ab^{5} + b^{6}), \\ Δ(a, b) = a^{7}b^{7}(a − b)^{7}(a^{3} − 8a^{2}b + 5ab^{2} + b^{3}). \end{matrix}

Remarque. L’équation de E paramètre les courbes elliptiques qui ont un point rationnel d’ordre 7.

La proposition suivante précise la minimalité du modèle ci-dessus est la semi-stabilité de la courbe elliptique E:

Proposition 3. Soient a et b deux entiers premiers entre eux tels que ab(a − b) ≠ 0. Soit g = (Δ(a, b), c_{4}(a, b)). Alors g = (a^{2} − ab + b^{2}, a^{3} − 8a^{2}b + 5ab^{2} + b^{3}) et g = 1 ou g ≡ 0 (mod 49). En particulier, lorsque g = 1, la courbe elliptique E est semi-stable et son modèle est minimal.

Preuve. Soit p un diviseur premier de Δ(a, b).

- Si p|a, alors p ne divise pas b et donc p ne divise pas c_{4}(a, b).

- Si p|b, on a la même conclusion.

- Si p|(a − b), alors en posant d=a-b, on peut écrire:

c_{4}(a, b) = (d^{2} + ab) (d^{6} − 5bd^{5} − 10b^{2}d^{4} + 15b^{3}d^{3} + 30b^{4}d^{2} + 11b^{5}d + b^{6}),

et donc p ne divise pas c_{4}(a, b).

- Si p|a^{3} − 8a^{2}b + 5ab^{2} + b^{3}, alors p ne divise ni a, ni b.

Supposons que p|a^{2} − ab + b^{2}. En utilisant l’égalité:

a^{3} − 8a^{2}b + 5ab^{2} + b^{3} = (a − 7b)(a^{2} − ab + b^{2}) − b^{2}(3a − 8b),

alors p|3a − 8b. En utilisant l’égalité:

9(a^{2} − ab + b^{2}) = (3a + 5b)(3a − 8b) + 49b^{2},

alors p|49b^{2} et donc p = 7. Supposons que p|a^{6} − 11a^{5}b + 30a^{4}b^{2} − 15a^{3}b^{3} − 10a^{2}b^{4} + 5ab^{5} + b^{6}. En utilisant l’égalité:

\begin{matrix}a^{6} − 11a^{5}b + 30a^{4}b^{2} − 15a^{3}b^{3} − 10a^{2}b^{4} + 5ab^{5} + b^{6} \\ = (a^{3} − 8a^{2}b + 5ab^{2} + b^{3})^{2} + b(a^{3} − 8a^{2}b + 5ab^{2} + b^{3}) + b^{4}(44a^{2} − 31ab − 6b^{2}), \end{matrix}

alors p|44a^{2} − 31ab − 6b^{2}. Maintenant en utilisant l’égalité:

1936(a^{3} − 8a^{2}b + 5ab^{2} + b^{3}) = (44a^{2} − 31ab − 6b^{2})(44a − 321b) − b^{2}(7a − 10b),

alors p|7a − 10b. En utilisant l’égalité:

49(44a^{2} − 31ab − 6b^{2}) = (7a − 10b)(308a + 223b) + 1936b^{2},

alors p divise 1936 = 2^{4}.11^{2}. Alors p = 2 ou p = 11, ce qui est impossible car dans ce cas p|a^{3} − 8a^{2}b + 5ab^{2} + b^{3} mais la congruence

t^{3} − 8t^{2} + 5t + 1 ≡ 0 (mod p),

n’a pas de solution. Nous venons de montrer que (Δ(a, b), c_{4}(a, b)) = (a^{2} − ab + b^{2}, a^{3} − 8a^{2}b + 5ab^{2} + b^{3}) et que si 7 ne divise pas ce pgcd, alors ces deux invariants sont premiers entre eux. Ceci implique alors dans ce cas que le modèle de la courbe elliptique E est minimal et qu’elle est semi-stable (voir Appendice A). ■

Nous allons considérer une courbe 7-isogène de la courbe elliptique E. Soient a et b deux entiers premiers entre eux tels que ab(a − b) ≠ 0. On définit une nouvelle courbe elliptique E′ par le modèle de Wierstrass suivant:

E′ : y^{2} + a_{1}xy + a_{3}y = x^{3} + a_{2}x^{2} + a_{4}x + a_{6} ,

avec: a_{1} = b^{2} + ab − a^{2}, a_{2} = a^{2}b(b − a), a_{3} = a^{2}b^{3}(b − a), a_{4} = 5ab(b − a)(a^{2} − ab + b^{2})(a^{3} + 2a^{2}b − 5ab^{2} + b^{3}), a_{6} = ab(b−a)(a^{9}+9a^{8}b−37a^{7}b^{2}+70a^{6}b^{3}−132a^{5}b^{4}+211a^{4}b^{5}−182a^{3}b^{6}+76a^{2}b^{7}−18ab^{8}+b^{9}).

Ses invariants c′_{4}(a, b) et Δ′(a, b) sont:

\begin{matrix}c′_{4}(a, b) = (a^{2} − ab + b^{2})(a^{6} + 229a^{5}b + 270a^{4}b^{2} − 1695a^{3}b^{3} + 1430a^{2}b^{4} − 235ab^{5} + b^{6}), \\ Δ′(a, b) = ab(a − b)(a^{3} − 8a^{2}b + 5ab^{2} + b^{3})^{7}. \end{matrix}

La proposition 3 précise aussi la minimalité du modèle ci-dessus et la semi-stabilité de la courbe elliptique E′. La preuve reste identique, à quelques changements près. En particulier, si (Δ′(a, b), c′_{4}(a, b)) = 1, alors le modèle ci-dessus est minimal et la courbe elliptique E′ est semi-stable. ■

Nous remarquons que la même expression a^{3} −8a^{2}b+5ab^{2} +b^{3} figure dans les discriminants des deux courbes elliptiques E et E′. Nous pouvons donc chercher des valeurs de a et de b de telle sorte que cette expression soit assez grande par rapport à son radical. Soit m un entier strictement positif. On considère alors l’équation:

(16)  x^{3} − 8x^{2}y + 5xy^{2} + y^{3} = mz,

en entiers x ≠ 0, y > 0, z ≠ 0 et tels que (y, m) = 1 et z petit. Nous lui appliquerons alors la méthode décrite dans la partie I de ce même chapitre. L’équation

θ^{3} − 8θ^{2} + 5θ + 1 = 0,

admet trois racines réelles:

θ_{1} = (8 − 14 sin(ω)) /3,
θ_{2} = (8 + 7\sqrt{3} cos(ω) + 7 sin(ω)) /3,
θ_{3} = (8 − 7\sqrt{3} cos(ω) + 7 sin(ω)) /3,

avec

ω = \frac{1}{3} arctan (\frac{13\sqrt{3}}{9}) .

On considère ensuite la congruence:

(17)  t^{3} − 8t^{2} + 5t + 1 ≡ 0 (mod m).

Soient t_{i}, 1 ≤ i ≤ r ses différentes solutions avec 0 ≤ |t_{i}| ≤ m/2. Le théorème 1 permet de trouver des solutions de l’équation (16) en prenant x = t_{i}v − mu et y = v où u et v sont deux entiers tels que u/v est une réduite de \frac{t_{i} − θ_{j}}{m}, pour 1 ≤ i ≤ r et j = 1, 2, 3. Ces réduites doivent vérifier v > V_{1}(θ_{j}) avec

V_{1}(θ_{1}) ≃ 1.217,  V_{1}(θ_{2}) ≃ 1.050,  V_{1}(θ_{3}) ≃ 0.167.

Nous allons maintenant étudier la congruence (17). Ecrivons d’abord m sous forme de produits de facteurs premiers m = 2^{e}p_{1}^{e_{1}} … p_{r}^{e_{r}}. La congruence (17) est équivalente au système:

\{ \begin{matrix}t^{3} − 8t^{2} + 5t + 1 ≡ 0 (mod 2^{e}), \\ t^{3} − 8t^{2} + 5t + 1 ≡ 0 (mod p_{i}^{e_{i}}) 1 ≤ i ≤ r. \end{matrix}

La congruence modulo 2^{e} est impossible, donc m doit être impair. Les congruences modulo p_{i}^{e_{i}} ne sont résolubles que pour certaines valeurs de p_{i} . Nous supposons donc que m est composé de nombres premiers pour lesquels la congruence est résoluble et que p_{i} ≠ 7 pour tout i. Nous considérons donc la congruence:

(18)  t^{3} − 8t^{2} + 5t + 1 ≡ 0 (mod p^{e}),

avec 0 < t < p^{e}. Soit t_{1} une solution de cette congruence avec e = 1. Le lemme de Hensel permet de trouver une solution de la congruence (18), en utilisant les formules de récurrence:

\{ \begin{matrix}a_{1} = t_{1}, \\ t_{k+1} ≡ t_{k} − (3t_{k}^{2} − 16t_{k} + 5)^{−1}(t_{k}^{3} − 8t^{2} + 5t + 1) (mod p^{k+1}), \end{matrix}

pour tout k, 1 ≤ k ≤ e − 1, avec 0 < t_{k+1} < p^{k+1} et un inverse (3t_{k}^{2} − 16t_{k} + 5)^{−1} pris modulo p. L’existence de (3t_{k}^{2} − 16t_{k} + 5)^{−1} (mod p) est assurée par la proposition suivante:

proposition 4. Soit p un nombre premier impair et différent de 7. Le système:

\{ \begin{matrix}t^{3} − 8t^{2} + 5t + 1 ≡ 0 (mod p), \\ 3t^{2} − 16t + 5 ≡ 0 (mod p), \end{matrix}

n’a pas de solution.

Preuve. Toute solution du système de cette proposition vérifie la congruence:

8t^{2} − 10t − 3 ≡ 0 (mod p),

dont les solutions sont t_{1} = 3(p^{2} + 1)/2 et t_{2} = (p^{2} − 1)/4. En remplaçant t par t_{1} dans la deuxième équation du système, on obtient:

27p^{2} − 22p − 49 ≡ 0 (mod p),

qui est impossible puisque p ≠ 7. En remplaçant t par t_{2} dans la première équation du système, on obtient:

p^{6} − 35p^{4} + 147p^{2} − 49 ≡ 0 (mod p),

qui est impossible aussi. ■

Le théorème des restes chinois permet ensuite de déterminer toutes les solutions de la congruence (17). En application numérique, nous avons pris des entiers positifs m = p^{e} avec 1 ≤ p ≤ 10000 et 1 ≤ e ≤ 100 et nous avons ainsi déterminé des solutions (x, y) de l’équation

x^{3} − 8x^{2}y + 5xy^{2} + y^{3} = mz,

vérifiant (x, y) = 1, y > 0 et tels que 7 ne divise pas mz et |z| petit. Nous avons alors calculé les quotients:

σ_{E} = \frac{log |a|^{7}b^{7}|a − b|^{7}|a^{3} − 8a^{2}b + 5ab^{2} + b^{3}|}{log r (ab(a − b)(a^{3} − 8a^{2}b + 5ab^{2} + b^{3}))},

σ_{E′} = \frac{log |a|b|a − b||a^{3} − 8a^{2}b + 5ab^{2} + b^{3}|^{7}}{log r (ab(a − b)(a^{3} − 8a^{2}b + 5ab^{2} + b^{3}))},

correspondant aux quotients de Szpiro des courbes elliptiques E et E′ définies par les équations du début de cette partie. Nous avons résumé dans les tables 1 et 2 les plus grandes valeurs de σ_{E} et σ_{E′} qui sont supérieur à 6.50 et 7.00 respectivement. Ces quotients sont assez éloignés de la valeur conjecturale 6, donnée dans la conjecture de Szpiro forme forte (voir chapitre 1, partie I).

Certains exemples ont été déterminer partir des bonnes relations abc des tables figurant à la fin du chapitre 4. Ces exemples sont signalés par un astérisque ∗ dans la colonnes de p.

Table 1

p  a  b  a - b  a^{3}-8a^{2}b+5ab^{2}+b^{3} σ_{E}

587 2^{15}.13  31^{2}.59  3.5.7.3517 587^{4}.17011  7.36246
2659 2^{6}.7^{2}.47  3^{5}.83  29.41.107 251.2659^{3}  7.10618
∗  2^{11}.7^{4}.9049  19^{8}  31^{7}  −937^{2}. · · ·  6.80043
197 384079  3^{2}.5.37.79  2^{7}.1973  −13.83.197^{6}  6.76452
9533 2^{6}.7.37.83  3^{13}  −5.11.29.137 −71.9533^{2}.21323 6.69128
13 149.1423  5^{2}.43.113  2^{3}.3.7^{3}.11 −13^{10}.121283 6.66500
13 2  11  −9  13^{3}  6.61959
127 −2^{5}.17  5^{2}.137  −3^{4}.7^{2}  127.3583  6.58656
337 2^{2}.499.1033.500287 3^{2}.5^{8}.139.2447 ⋯  337^{9}. · · ·  6.53638
251 2^{5}.71^{3}  3^{3}.53.1097  5.29.68161 13.251^{3}.617.1777 6.51985
181 11.17^{2}  3.5.29  2^{3}.7^{3}  13.113.181^{2}  6.50949

Les pointillés (⋯) remplacent des produits de facteurs premiers avec un exposant égal à 1.

Table 2

p  a  b  a - b  a^{3} − 8a^{2}b + 5ab^{2} + b^{3} σ_{E′}

13 2  11  −3^{2}  13^{3}  8.75732
41 −2.3^{5}  1  −487  −41^{3}.1693  7.44460
41 −283  3.7  −2^{4}.19  −13.41^{4}  7.32780
∗  5^{4}  2^{5}.17 3^{4}  −83^{2}.53719  7.20525
113 17^{2}.229  29^{2}  2^{2}.3^{3}.5.11^{2} 13.113^{4}.122963  7.16913
587 2^{1}5.13  31^{2}.59 3.5.7.3517 587^{4}.17011  7.13801
419 −2^{3}.3^{3}.13 7  −5.563  −307.419^{3}  7.10156

2. Les nombres de Ramanujan

Définition 2. Un entier m > 0 est appelé nombre de Ramanujan s’il s’écrit de deux façons différentes sous forme de somme de deux cubes positifs premiers entre eux.

Un exemple célèbre est le nombre 1729, découvert par Ramanujan lui même:

1729 = 9^{3} + 10^{3} = 1^{3} + 12^{3}.

C’est aussi le plus petit nombre de Ramanujan. Dans cette partie, nous allons montrer comment en trouver d’autres. Nous allons commencer par étudier l’équation de Thue:

(19)  x^{3} + y^{3} = m,

en entiers x et y vérifiant 0 < y < x < m^{1/3} et (m, y) = 1 où m est donné. On va commencer par démontrer la proposition suivante qui nous permettra de ne pas envisager les cas m = p^{e} où p est un nombre premier.

Proposition 5. Si m = p^{e} avec p premier et e entier positif, alors l’équation (19) n’admet pas de solution vérifiant (y, m) = 1, 0 < y < x sauf dans le cas m = 3^{2} et alors 1^{3}+2^{3} = 3^{2}.

Preuve. Soit m = p^{e} avec p premier et e ≥ 1. La factorisation

(x + y)(x^{2} − xy + y^{2}) = p^{e},

implique que x et y vérifient le sytème:

\{ \begin{matrix}x + y = p^{i}, \\ x^{2} − xy + y^{2} = p^{j}, \\ 0 ≤ i, j, i + j = e. \end{matrix}

Le cas i = 0 ne peut pas avoir lieu, sinon y = 0. Le cas j = 0 ne peut pas avoir lieu non plus, sinon on aurait:

x^{2} − xy + y^{2} = (x − y)^{2} + xy = 1,

et donc y = 0. Maintenant on a i ≥ 1 et j ≥ 1 dans le système ci-dessus. De l’égalité x^{2} − xy + y^{2} = (x + y)^{2} − 3xy, il résulte que 3xy = p^{2i} − p^{j} > 0 et donc que 2i > j et que p^{j}|3xy. Si p|x (resp. p|y), alors p|y (resp. p|x). Il reste donc le cas p^{j}|3 et donc p = 3 et j = 1. La deuxième équation de ce système devient alors:

x^{2} − xy + y^{2} = (x − y)^{2} + xy = 3,

et donc y = 1 et x = 2. ■

Nous allons décrire deux méthodes pour résoudre l’équation (19).

(a). Première méthode. Nous allons utiliser la méthode de résolution des équations de Thue basée sur les fractions continues. On commence par édutier la congruence:

(20)  t^{3} + 1 ≡ 0 (mod m),

avec 0 < t < m. Ecrivons m sous la forme m = p_{1}^{e_{1}} ⋯ p_{r}^{e_{r}}, où chaque p_{i}, 1 ≤ i ≤ r est un nombre premier et où chaque exposant e_{i}, 1 ≤ i ≤ r est strictement positif. La congruence ci-dessus se décompose en r congruences:

(21)  t^{3} + 1 ≡ 0 (mod p^{e}).

Le nombre de solutions de cette congruence est égal à (3, p^{e−1}(p − 1). On distingue alors les cas suivants:

- Si p = 3 alors cette congruence admet une solution t =2 si e = 1 ou trois solutions t = 3^{e−1} − 1, 2 × 3^{e−1} − 1, 3^{e} − 1, si e ≥ 2.

- Si p ≢ 1 (mod 3), la congruence (21) admet la seule solution t = p^{e} − 1.

- Si p ≡ 1 (mod 3), la congruence (21) admet trois solutions t = p^{e} − 1, t_{0}, t_{0}^{−1} avec 0 < t_{0} < p^{e} et t_{0}^{−1} est pris modulo p^{e}. Pour déterminer la solution t_{0}, on commence par détérminer une solution s_{1} ≠ p − 1 de la congruence (21) avec e = 1, puis on utilise les relations de récurrence:

s_{i+1} ≡ s_{i} − (3s_{i})^{−1}(s_{i}^{3} + 1) ≡ p^{i+1}, 1 ≤ i ≤ e − 1,

où (3s_{i})^{−1} est pris modulo p et où s_{i} est tel que 0 < s_{i} < p^{i}. Une solution de la congruence (21) est alors t_{0} = s_{e}. En remarquant que s_{e} ≡ s_{1} ≢ −1 (mod p), alors t_{0} ≠ p^{e} − 1.

Cette première méthode utilise le dévelopement du rationnel t/m en fraction continue, où t est une solution de la congruence (20). Si cette congruence n’admet qu’une seule solution, c’est précisement t = m − 1 et le développement de \frac{m − 1}{m} en fraction continue est:

\frac{m − 1}{m} = [0, 1, m − 1].

Les réduites de ce développement sont u_{0}/v_{0} = 0/1, u_{1}/v_{1} = 1/1 et u_{2}/v_{2} = (m − 1)/m. En remplaçant dans les égalités:

(tv_{i} − mu_{i})^{3} + v_{i}^{3} = mz_{i}, 0 ≤ i ≤ 2,

on obtient successivement:

(i) (m − 1)^{3} + 1^{3} = m(m^{2} − 3m + 3), mais m^{2} − 3m + 3 ≠ 1 pour m ≥ 1729, (ii) (−1)^{3} + 1^{3} = 0, ce qui n’a pas d’interêt, (iii) 0^{3} + m^{3} = m^{3}, ce qui non plus n’a pas d’interêt. Ainsi, lorsque la congruence (20) n’a qu’une solution, on peut ne pas traiter l’équation (19), qui de toute façon n’admet pas deux solutions distinctes. ■

Il arrive toutefois que le nombre de solutions de la congruence (20) soit assez grand et dans ce cas le nombre de réels à développer en fraction continue est aussi assez grand. La méthode décrite ci-dessus devient alors impraticable. Il est préférable d’utiliser la deuxième méthode.

(b). Deuxième méthode. Toute solution de l’équation (19) vérifie:

x^{3} + y^{3} = (x + y)(x^{2} − xy + y^{2}) = m.

Il suffit donc de prendre

\{ \begin{matrix}x + y = a, \\ x^{2} − xy + y^{2} = b, \end{matrix}

où a et b sont tels que ab = m. D’après l’égalité:

x^{2} − xy + y^{2} = (x + y)^{2} − 3y(x + y) + 3y^{2},

on a:

(x + y, x^{2} − xy + y^{2})|3.

On écrit donc m de deux façons suivant que 9|m ou non. Si 9|m, on écrit m = 3^{e−1}.3.p_{1}^{e_{1}} ⋯ p_{r}^{e_{r}} avec e ≥ 2, sinon, on écrit m = 3^{e}p_{1}^{e_{1}} ⋯ p_{r}^{e_{r}}, avec e ≤ 1 et où les p_{i}, 1 ≤ i ≤ r sont des nombres premiers différents de 3. On peut finalement écrire m = d_{1}d_{2} ⋯ d_{k}. Alors la factorisation ab de m doit être telle que (a, b)|3. Il y a donc 2^{k} possibilités pour choisir un couple (a, b) avec cette propriété. Une fois a et b choisis, toute solution (x, y) vérifie le système:

\{ \begin{matrix}x^{2} − xy + y^{2} = b, \\ y = a − x. \end{matrix}

Alors x est donné par:

x = \frac{3a ± \sqrt{12b − 3a^{2}}}{6} .

Alors a et b doivent être choisis pour que les racines ci-dessus soient entières, ce qui donne un test pour les couples (a, b). ■

Nous disposons maintenant de tous les moyens pour chercher des nombres de Ramanujan. Etant donné un entier m > 0, qui n’est pas de la forme m = p^{e} où p est un nombre premier, et qui est tel que la congruence (20) ait au moins trois solutions, on peut résoudre l’équation (19) en prenant x = tv −mu et y = v où u/v est une réduite de t/m où t est une solution de la congruence (20). Si toutefois le nombre de solutions de la congruence (20) est plus grand que le nombre de couples (a, b) tels que m = ab et (a, b)|3, nous utilisons plutôt la deuxième méthode.

Nous avons ainsi testé tous les entiers m < 2.10^{8}. Il y a exactement 99 entiers parmi eux ayant deux représentations positives de la forme x^{3} +y^{3} = m avec 0 < x < y et (y, m) = 1. Nous avons listé ces représentations pour les entiers m < 10^{7} dans la table 3.

Dans la table 4 ci-dessous, nous avons dressé aussi la liste des entiers m < 10^{7} qui ont trois représentations de la forme x^{3} + y^{3} = m avec pour seule condition (x, y) = 1. Il y a en fait 55 entiers m < 2.10^{8} qui ont trois de telles représentations.

Dans leur livre, J. Silverman et J. Tate ([Sil-Tat], p. 151) affirment que le plus petit entier pouvant s’écrire de trois façons différentes est:

3242197 = 76^{3} + 141^{3} = 85^{3} + 138^{3} = −171^{3} + 202^{3}.

La table 4 montre que ceci est faux. J. H. Silverman se trompe aussi sur le plus petit entier sans facteurs cubiques admettant trois représentations (voir [Sil3]). Ce nombre est présisement le premier exemple de la table 4. Le même auteur ne connaissait pas d’entiers sans facteurs cubiques admettant quatre représentations. Nous avons pu le déterminer:

16776487 = −201^{3} + 292^{3} = −9^{3} + 256^{3} = 183^{3} + 220^{3} = 58^{3} + 255^{3}.

m  x_{1}^{3} + y_{1}^{3}  x_{2}^{3} + y_{2}^{3}

1729  1^{3} + 12^{3}  9^{3} + 10^{3}
20683  10^{3} + 27^{3}  19^{3} + 24^{3}
40033  16^{3} + 33^{3}  9^{3} + 34^{3}
149389  8^{3} + 53^{3}  29^{3} + 50^{3}
195841  9^{3} + 58^{3}  22^{3} + 57^{3}
327763  30^{3} + 67^{3}  51^{3} + 58^{3}
443889  17^{3} + 76^{3}  38^{3} + 73^{3}
684019  51^{3} + 82^{3}  64^{3} + 75^{3}
704977  2^{3} + 89^{3}  41^{3} + 86^{3}
1845649  49^{3} + 120^{3}  42^{3} + 121^{3}
2048391  2^{3} + 127^{3}  95^{3} + 106^{3}
3242197  76^{3} + 141^{3}  85^{3} + 138^{3}
3375001  73^{3} + 144^{3}  1^{3} + 150^{3}
4342914  23^{3} + 163^{3}  121^{3} + 137^{3}
4931101  102^{3} + 157^{3}  76^{3} + 165^{3}
5772403  51^{3} + 178^{3}  115^{3} + 162^{3}
5799339  107^{3} + 166^{3}  40^{3} + 179^{3}
6058747  99^{3} + 172^{3}  120^{3} + 163^{3}
7620661  45^{3} + 196^{3}  133^{3} + 174^{3}
8872487  14^{3} + 207^{3}  140^{3} + 183^{3}
9443761  68^{3} + 209^{3}  146^{3} + 185^{3}

m  x_{1}^{3} + y_{1}^{3}  x_{2}^{3} + y_{2}^{3}  x_{3}^{3} + y_{3}^{3}

3367  −33^{3} + 34^{3}  −9^{3} + 16^{3}  −2^{3} + 15^{3}
68913  −86^{3} + 89^{3}  −2^{3} + 41^{3}  17^{3} + 40^{3}
152551  −225^{3} + 226^{3}  −24^{3} + 55^{3}  −17^{3} + 54^{3}
195841  −225^{3} + 256^{3}  9^{3} + 58^{3}  22^{3} + 57^{3}
625177  −456^{3} + 457^{3}  −66^{3} + 97^{3}  −47^{3} + 90^{3}
684019  −477^{3} + 478^{3}  51^{3} + 82^{3}  64^{3} + 75^{3}
1147627  −618^{3} + 619^{3}  −165^{3} + 178^{3}  −72^{3} + 115^{3}
1548729  −95^{3} + 134^{3}  −23^{3} + 116^{3}  86^{3} + 97^{3}
2628073  −135^{3} + 172^{3}  −71^{3} + 144^{3}  1^{3} + 138^{3}
2985983  −73^{3} + 150^{3}  −1^{3} + 144^{3}  71^{3} + 138^{3}
3242197  −171^{3} + 202^{3}  76^{3} + 141^{3}  85^{3} + 138^{3}
3442887  −617^{3} + 620^{3}  −4^{3} + 151^{3}  −41^{3} + 152^{3}
4488211  −80^{3} + 171^{3}  −204^{3} + 235^{3}  54^{3} + 163^{3}
4663295  −193^{3} + 228^{3}  −121^{3} + 186^{3}  18^{3} + 167^{3}
4931101  −192^{3} + 229^{3}  102^{3} + 157^{3}  76^{3} + 165^{3}
5318677  −1331^{3} + 1332^{3}  37^{3} + 174^{3}  136^{3} + 141^{3}
7194889  −423^{3} + 436^{3}  −167^{3} + 228^{3}  18^{3} + 193^{3}
8741691  −197^{3} + 254^{3}  −5^{3} + 206^{3}  163^{3} + 164^{3}
9429245  −1773^{3} + 1774^{3}  −282^{3} + 317^{3}  162^{3} + 173^{3}
9667693  −675^{3} + 682^{3}  −51^{3} + 214^{3}  16^{3} + 213^{3}

Algorithms for finding good abc-examples

I. Introduction II. On a diophantine equation III. The algorithm IV. Relation between t and c-t when n is even V. Application to special values of c

Algorithms for finding good abc-examples

Let n ≠ 0 be an integer and let r(n) be the radical of n, i.e. the product of the primes dividing n. The abc-conjecture and the Szpiro conjecture imply that for any positive relatively prime integers a, b, and c such that a + b = c, the expressions

α = α(a, b, c) = \frac{log c}{log r(abc)}

and

ρ = ρ(a, b, c) = \frac{log abc}{log r(abc)}

are bounded. More precisely, the Szpiro conjecture says that for any semi-stable elliptic curve over ℚ with discriminant Δ and conductor N, the ratio

σ = \frac{log |Δ|}{log N}

is bounded. We give an algorithm for finding good abc-examples relatively to α and ρ. This algorithm is based on approximation methods for solving the equation ax^{n} −by^{n} = cz in integers x, y, and z with small |z|.

I. Introduction

An abc-example is a triplet of positive relatively prime integers a, b and c such that a + b = c with a < b < c. Define the radical G of abc as the product of all distinct primes dividing abc. The abc-conjecture of Masser and Oesterlé implies that the expression

(1.1)  α = α(a, b, c) = \frac{log c}{log G}

is bounded (see [Oesterlé 1988]). The conjectured asymptotic value of α(a, b, c) is 1, so we will say that an abc-example is good relatively to the abc-conjecture if α(a, b, c) ≥ 1.4.

Let E be a semi-stable elliptic curve over ℚ with minimal discriminant Δ and conductor N. The original Szpiro conjecture says that for a given ε > 0, there exists c(ε) such that

|Δ| ≤ c(ε)N^{6+ε} .

This inequality implies that the Szpiro ratio

(1.2)  σ = \frac{log |Δ|}{log N}

is bounded. If we apply this conjecture to the elliptic curve

E_{a,b,c} : y^{2} + xy = x^{3} + \frac{b − a − 1}{4}x^{2} − \frac{ab}{16}x ,

where a ≡ −1 (mod 4), b ≡ 0 (mod 16), (a, b) = 1 and a + b = c, we get that the expression

(1.3)  ρ = ρ(a, b, c) = \frac{log |abc|}{log G}

is bounded ( [Oesterlé 1988]). The conjectured asymptotic value of ρ(a, b, c) is 3, so we will say that an abc-example is good relatively to the Szpiro conjecture if ρ(a, b, c) ≥ 3.8.

In this paper, we give an algorithm for finding good abc-examples relatively to the abc and the the Szpiro conjectures. Section 2 is a motivation to the algorithm, Section 3 is the General Algorithm, Section 4 and Section 5 indicate how to make the algorithm more efficient, Section 6 is an application of the abc-examples to construct two families of elliptic curves with higher Szpiro ratio (1.2) and Section 7 contains numerical results ralatively to the ratio α and ρ.

N. Elkies and J. Kanapka have computed all good abc-examples with c ≤ 2^{32}. These results were all given by our algorithm. Furthermore, some good abc-examples with large c > 2^{32} were found. The largest one is

109^{3}.2383^{3} + 2^{50}.7^{2}.17.19.31 = 3^{17}.53^{6}.193, α = 1.37839, ρ = 3.83622,

for which c = 3^{17}.53^{6}.193 > 2^{69}.

II. On a diophantine equation

Our search for good abc-examples is based on solving the diophantine equation

(2.1)  ax^{n} − by^{n} = cz,

in relatively prime integers x, y and z, with x ≠ 0, y > 0 and (c, y) = 1, where a, b and c are given relatively prime integers with a > 0, b ≠ 0, c > 0 and n ≥ 2 is an integer. We also consider the congruence

(2.2)  t^{n} ≡ ba^{−1} (mod c),

with 0 ≤ t < c.

Proposition 2.1. The equation (2.1) has a solution with (c, y) = 1 if and only if the congruence (2.2) has a solution. If (x, y, z) is a solution of (2.1) with (c, y) = 1, then t ≡ xy^{−1} (mod c), with 0 ≤ t < c, is a solution of the congruence (2.2) and there exist integers u and v such that x = tv − cu and y = v.

Proof. If (2.1) has a solution with (y, c) = 1 then ax^{n} − by^{n} ≡ 0 (mod c) and (xy^{−1})^{n} ≡ ba^{−1} (mod c). Put t ≡ xy^{−1} (mod c) with 0 ≤ t < c. So the congruence (2.2) has a solution and we have ty ≡ x (mod c). Then there exists an integer u such that ty−x = cu. Hence x = tv − cu with v = y. Conversely if t is a solution of the congruence (2.4) then there exists an integer q such that at^{n} − b = cq. For any relatively prime integers u and v we have

a (tv − cu)^{n} − bv^{n} ≡ (at^{n} − b) v^{n} ≡ 0 (mod c).

Hence x = tv − cu, y = v and z = qv^{n} + au ∑_{i=1}^{n} (−1)^{i} \binom{n}{i} (tv)^{n−i} (uc)^{i−1} is a solution of (2.3). ■

We now treat the problem of finding solutions x, y and z such that |z| is small. The following theorem guaranties the existence of solutions of the equation (2.1) with small |z|.

Theorem 2.1. If the congruence (2.2) is solvable, then the equation (2.1) has a solution x, y, and z with |z| < 2 (\sqrt{a|b|}) c^{(n−2)/2}.

Proof. The linear forms x = tv − cu and y = v have determinant c. Let l > 0 be a real number. By Minkowski’s theorem, there exist integers u and v, (u, v) ≠ (0, 0) such that |tv − cu| ≤ l\sqrt{c} and |v| ≤ \sqrt{c}/l. Then

c|z| = |a (tv − cu)^{n} − bv^{n}| ≤ c^{n/2} (al^{n} + \frac{|b|}{l^{n}}) .

The expression al^{n} + \frac{|b|}{l^{n}} is minimal when l = (\frac{|b|}{a})^{1/2n}. Taking l equal to this value, we

get |z| < 2 (\sqrt{a|b|}) c^{(n−2)/2}. ■

We first treat the case where b < 0 and n is even.

Theorem 2.2. Let b and n be as obove. If x ≠ 0, y > 0 and z = 1 is a solution of (2.1) with (c, y) = 1, then there exist a solution t of the congruence (2.2) with 0 ≤ t < c and a convergent \frac{u}{v} of \frac{t}{c} such that x = tv − cu and y = v.

Proof. By proposition 2.1 there exist integers t, u and v such that 0 ≤ t < c, x = tv − cu and y = v > 0. As b < 0, we have 0 < 2|x|y < x^{n} + y^{n} < ax^{n} − by^{n} = c. Then

|\frac{t}{c} − \frac{u}{v}| = \frac{|x|}{cy} < \frac{1}{2y^{2}} = \frac{1}{2v^{2}} .

It follows [Niven et al. 1991] that \frac{u}{v} is a convergent of \frac{t}{c}. ■

Next we treat the case \{b > 0\} or \{b < 0 and n is odd\}. Let δ = (\frac{b}{a})^{1/n}. If n ≥ 3, we put

v_{0} = (\frac{2^{n}}{anδ^{n−1}} )^{1/(n−2)} .

Theorem 2.3. Let b and n be as obove. Let x ≠ 0, y > 0 and z = ±1 be a solution of (2.1). Put

ε = \{ \begin{matrix}1  if xδ > 0, \\ − 1  if xδ < 0 and n is even, \\ cos \frac{(n − 1)π}{n}  if xδ < 0 and n is odd. \end{matrix}

If {n = 2 and ab ≥ 4} or if {n ≥ 3 and y ≥ v_{0}}, then there exist a solution t of the congruence (2.2) with 0 ≤ t < c and a convergent \frac{u}{v} in the continued fraction expansion of

\frac{t − εδ}{c}, if t − εδ ≠ 0, such that x = tv − cu and y = v.

Proof. We have

|x^{n} − δ^{n}y^{n}| = ∏_{k=0}^{n−1} |x − θ_{k}y| ,

where θ_{k} = δe^{i \frac{2kπ}{n}}, k = 0, …, n − 1. Let k_{0} be such that 0 ≤ k_{0} ≤ n − 1 and

|\frac{x}{y} − θ_{k_{0}} | = min_{0≤k≤n−1} |\frac{x}{y} − θ_{k}| .

Let ε be as in the theorem. It is easy to see that ℜe (θ_{k_{0}}) = εδ. We have

∏_{k≠k_{0}} |\frac{x}{y} − θ_{k}| ≥ \frac{1}{2^{n−1}} ∏_{k≠k_{0}} (|\frac{x}{y} − θ_{k_{0}} | + |\frac{x}{y} − θ_{k}|) ≥ \frac{1}{2^{n−1}} ∏_{k≠k_{0}} |θ_{k_{0}} − θ_{k}| = \frac{nδ^{n−1}}{2^{n−1}} .

Then

|\frac{x}{y} − θ_{k_{0}} | = \frac{c}{a | ∏_{k≠k_{0}}(x/y − θ_{k})| y^{n}} ≤ \frac{2^{n−1}c}{anδ^{n−1}y^{n}} ,

and

|\frac{x}{y} − ℜe (θ_{k_{0}})| ≤ \frac{2^{n−1}c}{anδ^{n−1}y^{n}} .

By proposition 2.1 there exist integers t, u and v such that 0 ≤ t < c, x = tv − cu and y = v > 0. Then

|\frac{t − ℜe (θ_{k_{0}})}{c} − \frac{u}{v}| ≤ \{ \begin{matrix}(\frac{v_{0}}{v} )^{n−2} \frac{1}{2v^{2}} if n ≥ 3, \\ \frac{1}{\sqrt{ab}v^{2}} if n = 2. \end{matrix}

If \{n = 2 and ab ≥ 4\} or if \{n ≥ 3 and v ≥ v_{0}\} then |\frac{t − ℜe (θ_{k_{0}})}{c} − \frac{u}{v}| ≤ \frac{1}{2v^{2}} and it

follows [Niven et al. 1991] that \frac{u}{v} is a convergent in the continued fraction expansion of

\frac{t − εδ}{c}.

III. The algorithm

We now describe an algorithm for finding abc-examples and we list those for which ρ ≥ 3.8 or α ≥ 1.4. This algorithm is based on solving the diophantine equation (2.1) in integers. Let a, b and c be relatively positive prime integers with a > 0, b ≠ 0 and c > 0 and let n ≥ 2.

The algorithm. Step 1. Solve the congruence t^{n} ≡ ba^{−1} (mod c). Let t_{j}, j = 1, …, r be the solutions

with 0leqt_{j} < c. Step 2. j = 1. Step 3. h = 1. Step 4. If h = 1 then ε_{h} = 1.

If h = 2 then if n is even then ε_{h} = −1 else ε_{h} = cos \frac{(n−1)π}{n}.

Step 5. If t_{j} − ε_{h}δ = 0 then goto Step 8 else compute the convergents \frac{u_{i}}{v_{i}} of \frac{t_{j} − εδ}{c}, i = 1, …, k, with k so large that v_{k} = c or |v_{k}| > 2^{34}.

i = 1.

Step 6. X_{i} = a(t_{j}v_{i} − cu_{i})^{n}, Y_{i} = bv_{i}^{n}, d_{i} = gcd(X_{i}, Y_{i}), X′_{i} = X_{i}/d_{i}, Y′_{i} = Y_{i}/d_{i}, Z′_{i} = X′_{i} − Y′_{i}.

Factor X′_{i}, Y′_{i} and Z′_{i} into primes.
Compute the radical G_{i} of |X′_{i}Y′_{i}Z′_{i}|.
Compute ρ(X′_{i}, Y′_{i}, Z′_{i}) and α(X′_{i}, Y′_{i}, Z′_{i}).

If ρ(X′_{i}, Y′_{i}, Z′_{i}) ≥ 3.8 or α(X′_{i}, Y′_{i}, Z′_{i}) ≥ 1.4 then print X′_{i}, Y′_{i}, Z′_{i}, ρ(X′_{i}, Y′_{i}, Z′_{i})

and α(X′_{i}, Y′_{i}, Z′_{i}). Step 7. i = i + 1. If i < k then goto Step 6. Step 8. h = h + 1. If δ ≠ 0 and h = 2 then goto Step 4. Step 9. j = j + 1. If j ≤ r then goto Step 3 else stop. ■

In step 1, we have to solve the congruence (2.1). Put d ≡ ba^{−1} (mod c) with 0 < d < c. Let

c = ∏_{{p|c \atop p prime}} p^{e}

be the factorization of c into primes. The congruence t^{n} ≡ d (mod c) is equivalent to the system

(3.1)  t^{n} ≡ d (mod 2^{e}),
(3.2)  t^{n} ≡ d (mod p^{e}),  p|c.

We solve the system and we apply the Chinese remainder theorem to compute the solutions of the congruence. First we treat the congruence (3.1). Suppose here that d is odd. If e = 0 or e = 1 then t = 1 is the solution. Suppose that e ≥ 2. Let n = 2^{k}m with positive integer k and odd m. The number of solutions of (3.1) is (2, 2^{k})(2^{k}, 2^{e−2}) = 2^{β} or zero according as d ≡ 1 (mod 2^{β+1}) or not [Niven et al. 1991]. Assume that d ≡ 1 (mod 2^{β+1}). If k ≥ e − 2 then β + 1 = e and d ≡ 1 (mod 2^{e}). Hence the solutions of the congruence (3.1) are the 2^{e−1} odd integers t with 1 ≤ t ≤ 2^{e} − 1. Assume that k < e − 2. Then the following procedure computes a solution of (3.1).

Procedure 1. t = 1. r = 1 − d. j = β + 2. while r ≢ 0 (mod 2^{e}) do

t ≡ t − r/2^{k} (mod 2^{j}).
r = t^{n} − d.
j = j + 1.

end.

This procedure terminates with at most j = e. The solutions of the congruence (3.1) are t_{j} ≡ ±t + j2^{e−k} (mod 2^{e}), j = 0, …, 2^{k} − 1.

Next we consider the congruence (3.2). Let n = p^{k}m with (m, p) = 1. The number of solutions of this congruence is g = (p^{k}m, p^{e−1}(p − 1)) or zero according as

d^{p^{e−1}(p−1)/g} ≡ 1 (mod p^{e})

or not [Niven et al. 1991]. Assume that the congruence (3.2) is solvable. We have t^{n} = (t^{m})^{p^{k}}. Hence we decompose the congruence (3.2) in two congruences

(3.3)  l^{p^{k}} ≡ d (mod p^{e}),

with 0 < l < p^{e} and for each solution l

(3.4)  t^{m} ≡ l (mod p^{e}).

Considere the congruence (3.3). If k ≥ e − 1 then

l^{p^{k}} ≡ l^{p^{e−1}} (mod p^{e}).

Put (p^{k}, p^{e−1}) = p^{β}. Then we rewrite (3.3) as

l^{p^{β}} ≡ d (mod p^{e}).

It is obvious that l_{0} ≡ d (mod p), with 0 < l_{0} < p is a solution of the congruence l^{p^{β}} ≡ d (mod p). We use the procedure 2 to compute a solution l of (3.3).

Procedure 2.

l ≡ d (mod p).
r = l^{p^{β}} − d.

j = 2.

while r ≢ 0 (mod p^{e}) do

s ≡ t^{p^{β}−1})^{−1} (mod p).
l ≡ l − rs/p^{β} (mod p^{j}).
r = l^{p^{β}} − d.
j = j + 1.

end.

This procedure terminates with at most j = e. Put (p^{k}, p^{e−1}) = p^{β}. The solutions of the congruence (3.3) are l_{j} ≡ l + jp^{e−β} (mod p^{e}), j = 0, …, p^{β} − 1. Now consider the congruence (3.4). Let l be a solution of (3.3). Since (m, p) = 1, the number of solutions of the congruence (3.4) is (m, p−1). By applying the method described in [Wil-Har] or by varying t from 1 to p − 1, we can find all solutions of the congruence t^{m} ≡ l (mod p). Let t_{0} be a solution with 0 < t_{0} < p. We compute the solutions of the congruence (3.4) by the procedure

Procedure 3.

t = t_{0}. r = t^{m} − l. j = 2. while r ≢ 0 (mod p^{e}) do

s ≡ (mt^{m−1})^{−1} (mod p).
t = t − rs (mod p^{j}).
r = t^{m} − l.
j = j + 1.

end.

This procedure terminates with at most j = e. Each solution t_{0} gives a solution of the congruence (3.4) and hence a solution of the congruence (3.2). ■

In Step 5, we have to factor many integers into primes. This step in the algorithm is the dominant one. In Step 4, the bound 2^{34} is arbitrary and can be replaced by any other positive integer.

In the next two sections, we prove that the algorithm can be quickened if n is even (Section 4) or if we apply it to special values of c (Section 5). Put

(3.5)  δ = \{ \begin{matrix}0  if b < 0 and n is even, \\ (b/a)^{1/n} otherwise. \end{matrix}

Put

(3.6)  ε = \{ \begin{matrix}0  if b < 0 and n is even, \\ ± 1  if b > 0 and n is even, \\ 1, cos \frac{(n − 1)π}{n}  if n is odd. \end{matrix}

IV. Relation between t and c-t when n is even

Let a > 0, b ≠ 0 and c > 0 be relatively prime integers, and n ≥ 2. In this section, we assume that n is even. If t is a solution of the congruence (2.2), then c − t is also a solution of the same congruence. The algorithm requires the convergents of the continued fraction expansion of the four real numbers \frac{t − εδ}{c} and \frac{c − t − εδ}{c} (two if δ = 0) where δ and ε are given by (3.5) and (3.6) respectively. The following theorem shows that we have to consider only the convergents of the continued fraction expansion of two of them (one if δ = 0). Let [x] denote the integer part of the real number x.

Theorem 4.1. Let the notation be as obove. Let n ≥ 2 be even. Let t, 0 ≤ t < \frac{c}{2} be a

solution of the congruence (2.2). Let ξ = \frac{t − εδ}{c} and ν = ξ − [ξ].

(i) If ξ ≠ 0 and ν ≤ 1/2, then every abc-example found by a convergent of ξ can be found by a convergent of 1 − ξ. (ii) If ξ ≠ 0 and ν > 1/2, then every abc-example found by a convergent of 1 − ξ can be found by a convergent of ξ.

Proof. Assume that ξ ≠ 0. Expand ξ into continued fraction, ξ = [a_{0}, a_{1}, a_{2}, …]. We have a_{0} = [ξ], and a_{1} = [1/ν]. To show (i), assume that ν ≤ 1/2. Then a_{1} ≥ 2 and

1 − ξ = [−a_{0}, 1, a_{1} − 1, a_{2}, a_{3}, …].

Let \frac{u_{i}}{v_{i}} and \frac{u′_{i}}{v′_{i}}, i = −2, −1, … be the convergents of the continued fraction expansion of ξ and 1 − ξ respectively. Then for all i ≥ 1, u′_{i} = v_{i−1} − u_{i−1} and v′_{i} = v_{i−1}. Let x and y be such that x = tv_{i−1} − cu_{i−1} and y = v_{i−1}. Since n is even, we have

ax^{n} − by^{n} = a (tv_{i−1} − cu_{i−1})^{n} − bv_{i−1}^{n}
= a ((c − t)v_{i−1} − c(v_{i−1} − u_{i−1}))^{n} − bv_{i−1}^{n}
= a ((c − t)v′_{i} − cu′_{i})^{n} − bv′_{i}^{n}.

Hence, for i ≥ 1, every convergent \frac{u_{i−1}}{v_{i−1}} of ξ gives the same abc-example as the convergent

\frac{u′_{i}}{v′_{i}} of 1 − ξ. This completes the proof of proof of assertion (i). To prove (ii), we remark that if ξ − [ξ] > 1/2, then 1 − ξ − [1 − ξ] ≤ 1/2 and hence it suffices to apply (i).

V. Application to special values of c

To find good examples relatively to the abc and the Szpiro conjectures from the expressions

ax^{n} − by^{n} = cz,

it is preferable to choose c = p^{e}c′, where p is a prime, c′ is a positive integer satisfying (p, c′) = 1 and e is a varying integer, simply because:

(i) if the congruence t^{n} ≡ ba^{−1} (mod p^{e}c′) is solved, then it is easy to solve the congruence w^{n} ≡ ba^{−1} (mod p^{e+1}c′). (ii) the ratio \frac{log c}{log pc′} advantages α and ρ. (iii) the algorithm can be quickened. (Theorem 5.1 and Theorem 5.2 below).

From here until the end of this section, assume that a > 0, b ≠ 0, c′ > 1, n ≥ 2, are fixed integers and p is a prime such that (p, c′) = 1. For all j ≥ 0, let c_{j} = p^{j}c′. We say that an example ax^{n} − by^{n} = c_{j}z is found with the triplet (a, b, c_{j}) if there exist a solution t of the congruence (2.1) and a convergent \frac{u}{v} in the continued fraction expansion

of a certain real number \frac{t − εδ}{c_{j}} where δ and ε are given by (3.5) and (3.6).

The following theorem shows that we can ignore the convergents \frac{u}{v} if v ≡ 0 (mod p).

Theorem 5.1. Let the notation be as obove. Let e > 0 be an integer. Assume that the algorithm was applied to all c_{j} with 0 ≤ j < e. Then every abc-example found with the triplet (a, b, c_{e}) and a convergent u/v satisfying v ≡ 0 (mod p) was also found with a triplet (a, b, c_{j}) for some j satisfying 0 ≤ j < e.

Proof. Let x ≠ 0, y > 0 and z be a solution of (2.1) found with the triplet (a, b, c_{e}). Let t and \frac{u}{v} be as in Proposition 2.1. Assume that \frac{u}{v} is a convergent of \frac{t − εδ}{p^{e}c′} . Let q be such that at^{n} − b = p^{e}c′q. We have

ax^{n} − by^{n} = a (tv − p^{e}c′u)^{n} − bv^{n} = p^{e}c′z.

If v = p^{e′}v′ with e′ > 0 and (p, v′) = 1, then

(5.1)  a (tp^{e′}v′ − p^{e}c′u)^{n} − b (p^{e′}v′)^{n} = p^{e}c′z

with

z = qp^{ne′}v′^{n} + au ∑_{i=1}^{n} (−1)^{i}\binom{n}{i}p^{(n−i)e′+(i−1)e} (tv′)^{n−i} (uc′)^{i−1}.

Let j = e − min(e, e′) and k = e′ − min(e, e′). Dividing (5.1) by p^{min(ne,ne′)}, we get

(5.2)  a (tp^{k}v′ − p^{j}c′u)^{n} − b (p^{k}v′)^{n} ≡ 0 (mod p^{j}c′).

The division algorithm gives t = p^{j}c′r + t′, with 0 < t′ < p^{j}c′. Since at^{n} − b ≡ 0 (mod p^{e}c′), then at′^{n} − b ≡ 0 (mod p^{j}c′). Rewrite (5.2) as

a (t′p^{k}v′ − p^{j}c′ (u − rp^{k}v′))^{n} − bp^{k}v′^{n} ≡ 0 (mod p^{j}c′).

Since \frac{u}{v} is a convergent of \frac{t − εδ}{p^{e}c′}, then

|\frac{t − εδ}{p^{e}c′} − \frac{u}{v}| < \frac{1}{v^{2}} .

That is

|\frac{p^{j}c′r + t′ − εδ}{p^{e}c′} − \frac{u}{p^{e′}v′} | < \frac{1}{(p^{e′}v′)^{2}} .

Then

|\frac{t′ − εδ}{p^{j}c′} − \frac{u − rp^{k}v′}{p^{k}v′} | < \frac{1}{p^{e′+k}v′^{2}} ≤ \frac{1}{2v′^{2}} .

It follows [Niv et al. 1991] that \frac{u − rp^{k}v′}{p^{k}v′} is a convergent of \frac{t′ − εδ}{p^{j}c′}. Hence the convergent

\frac{u}{v} of \frac{t − εδ}{p^{e}c′} gives the same example as the convergent \frac{u − rp^{k}v′}{p^{k}v′} of \frac{t′ − εδ}{p^{j}c′} with j < e. ■

The following theorem shows that we can ignore in the algorithm the solutions (x, y, z) of the equation (2.1) satisfying z ≡ 0 (mod p) if c = p^{e}c′.

Theorem 5.2. Let the notation be as in Theorem 5.1. Let e be an integer. Then every solution (x, y, z) of the equation (2.1) satisfying z ≡ 0 (mod p) found with the triplet (a, b, c_{e}) is also found with a triplet (a, b, c_{j}) for some j satisfying j > e.

Proof. Let x ≠ 0, y > 0, z ≠ 0 be a solution of the equation (2.1). By Theorem 5.1 we assume that (y, pc′) = 1. Let t, u and v be as in Proposition 2.1. Assume that \frac{u}{v} is a

convergent of \frac{t − εδ}{p^{e}c′}. If z = p^{e′}z′ with e′ > 0 and (p, z′) = 1, then ax^{n} − by^{n} = p^{e+e′}c′z′.

By Proposition 2.1, there exist integers u′, v′ and t′ such that t′^{n} ≡ ba^{−1} (mod p^{e+e′}c′), 0 < t′ < p^{e+e′}c′, x = t′v′ −p^{e+e′}c′u′ and y = v′. Then y = v = v′ and x = t′v −p^{e+e′}c′u′ = tv − p^{e}c′u. Hence

(t′ − t)v = p^{e}c′(p^{e′}u′ − u).

Since (v, pc′) = 1, there exists an integer r such that p^{e′}u′ − u = rv and t′ − t = rp^{e}c′. Then

\begin{aligned}|\frac{u′}{v′} − \frac{t′ − εδ}{p^{e+e′}c′} | & = |\frac{u + rv}{p^{e′}v} − \frac{rp^{e}c′ + t − εδ}{p^{e+e′}c′} | \\ & = \frac{1}{p^{e′}} |\frac{u}{v} − \frac{t − εδ}{p^{e}c′} | ≤ \frac{1}{p^{e′}v^{2}} ≤ \frac{1}{2v^{2}} . \end{aligned}

It follows [Niven et al. 1991] that \frac{u′}{v′} is a convergent of \frac{t′ − εδ}{p^{e+e′}c′} with e + e′ > e. ■

ACKNOWLEDGMENTS

I wish to thank Professor Y. Hellegouarch for his encouragement and J. Browkin and J. Brzezinski for sending me their examples.

REFERENCES

[Browkin, Brzezinski 1992] J. Browkin and J. Brzezinski, “Some remarks on abcconjecture”, preprint Univ. Göteborg (Sweden) ,1992-30.

[Nitaj 1992] A. Nitaj, “Algorithms for finding abc-examples”, preprint Univ. Caen (France) 60, 1992.

[Niven et al. 1991] I. Niven, H. S. Zuckerman and H. L. Montgomery, “An Introduction to the Theory of Numbers”, John Wiley and Sons, inc. (New York) 1991.

[Oesterlé 1988] J.Oesterlé, “Nouvelles approches du Théorème de Fermat”, Séminaire Bourbaki, 1987-88, no. 694. (Astérisque, vols.161-162, pp 165-186) Paris, Soc. Math. Fr. 1988.

[Silverman 1986] J. H. Silverman, “The Arithmetic of Elliptic Curves”, Springer-Verlag, 1986.

[de Weger 1987] B. M. M. de Weger, “Solving exponential diophantine equations using latice basis reduction algoritms”, J. Number Theory 26 (1987), 325-367.

Résultats expérimentaux

I. Quelques estimations pour la conjecture abc II. Etude des rapports de Szpiro et d’Oesterlé-Masser III. Architecture des bonnes relations abc IV. Application des algorithmes V. Tables des bonnes relations abc

Résultats expérimentaux

I. Quelques estimations pour la conjecture abc

Soient a, b et c des entiers positifs tels que a < b < c et a + b = c. J. Oesterlé avait proposé deux formules pour majorer c en fonction de r(abc), radical de abc. La première estimation était:

(1)  c ≤ r^{1+4(1+2/ log log r)/(\sqrt{log r} log log r)},

où r = r(abc), en précisant que les constantes 4 et 2 ne peuvent pas être diminuées. Cette inégalité implique que la quantité τ définie par:

τ = τ(a, b, c) = 1 + \frac{4}{\sqrt{log r} log log r} (1 + \frac{2}{log log r} ) − \frac{log c}{log r} ,

est positive. On sait maintenant que l’estimation (1) est fausse car nous avons déterminé les contre-exemples listés dans la table 1 suivante.

Table 1

a  b  c  τ
11^{3}.19^{7}.21023^{3} 3^{34}.1945713113  2^{43}.5^{10}.17.31^{3}  −0.04060
2^{42}.7^{6}.13^{3}.53^{3} 5.11^{20}.179471  3.79.148296823^{3} −0.02903
2^{20}.7^{18}.127^{3}  31.53^{4}.1873133^{3}  3^{39}.11.191.599597 −0.02807
3.31.773^{2}  5^{8}.11^{4}.103^{2}.113^{3}  2.19^{11}.613^{2}  −0.02670
37.73^{2}.4817^{4} 2^{20}.5^{3}.7^{2}.19  3^{2}.23^{2}.29^{10}.53  −0.01594
7^{4}.151^{2}.181^{4}  2^{25}.3^{4}.29.10753  5^{24}  −0.00858
3^{8}.10753^{2}  5^{12}.7^{2}.151.181^{2}  2^{46}.29^{2}  −0.00833
7^{2}.23^{2}  2^{12}.3.5.11.19^{4}.29.167^{2} 31^{8}.17^{4}  −0.00156

J. Oesterlé a ensuite proposé l’estimation suivante:

(2)  abc ≤ r^{3+12(1+2/ log log r)/(\sqrt{log r} log log r)},

où r désigne toujours r(abc). Cette inégalité implique de même que la quantité τ′ définie par:

τ′ = τ′(a, b, c) = 3 + \frac{12}{\sqrt{log r} log log r} (1 + \frac{2}{log log r} ) − \frac{log(abc)}{log r},

est positive. Nous avons aussi découvert les contres exemples de la table 2 ci-dessous.

Table 2

a  b  c  τ′
11^{3}.19^{7}.21023^{3} 3^{34}.1945713113 2^{43}.5^{10}.17.31^{3}  −0.08593
2^{20}.7^{18}.127^{3}  31.53^{4}.1873133^{3} 3^{39}.11.191.599597 −0.05438
2^{42}.7^{6}.13^{3}.53^{3} 3.79.148296823^{3} 5.11^{20}.179471  −0.05146

II. Etude des rapports de Szpiro et d’Oesterlé-Masser

Rappelons que pour toute relation abc, écrite sous la forme a+b = c, avec 0 < a < b < c et (a, b) = 1, le rapport α(a, b, c) d’Oesterlé-Masser et le rapport ρ(a, b, c) de Szpiro sont définis respectivement par:

α = α(a, b, c) = \frac{log c}{log r(abc)},

et

ρ = ρ(a, b, c) = \frac{log abc}{log r(abc)}.

Il est clair alors que pour toute relation abc, ces rapports sont liés par la double inégalité:

α < ρ < 3α.

Ainsi, si on admet la conjecture abc ou les conjectures de Szpiro, ces deux rapports sont bornés (voir Chapitre 1, parties I et II). Nous donnons maintenant une méthode pour déterminer des familles infinies de triplets (a, b, c) pour lesquels α(a, b, c) > 1 et ρ(a, b, c) > 3. Soient A un entier non nul sans facteurs cubiques et x_{0}, y_{0} et z_{0} trois entiers vérifiant (x_{0}, y_{0}) = 1 et:

x_{0}^{3} + y_{0}^{3} = Az_{0}^{3}.

Pour tout n ≥ 1, on définit x_{n}, y_{n} et z_{n} par les formules suivantes, obtenues par duplication cubique (appelée aussi méthode de Fermat ou de la tangente à une courbe elliptique):

(3)  \{ \begin{matrix}x_{n} = x_{n−1} (x_{n−1}^{3} + 2y_{n−1}^{3}) , \\ y_{n} = −y_{n−1} (2x_{n−1}^{3} + y_{n−1}^{3}) , \\ z_{n} = z_{n−1} (x_{n−1}^{3} − y_{n−1}^{3}) . \end{matrix}

Alors on a pour tout n ≥ 0:

x_{n}^{3} + y_{n}^{3} = Az_{n}^{3}.

Proposition 1. Si les entiers x_{0} et y_{0} vérifient x_{0} ≡ 2 (mod 3) et y_{0} ≡ 1 (mod 3), alors pour tout n ≥ 0, (x_{n}, y_{n}) = 1, z_{n} ≠ 0 et lim_{n→∞} |z_{n}| = +∞.

Preuve. Remarquons d’abord que pour tout n ≥ 0, x_{n} ≡ 2 (mod 3) et y_{n} ≡ 1 (mod 3). Montrons maintenant que (x_{n}, y_{n}) = 1 pour tout n ≥ 0. C’est le cas pour n = 0. Supposons que (x_{n}, y_{n}) = 1. Soit p un diviseur premier de (x_{n+1}, y_{n+1}) avec x_{n+1} = x_{n}(x_{n}^{3} + 2y_{n}^{3}) et y_{n+1} = −y_{n}(2x_{n}^{3} + y_{n}^{3}). Si p divise x_{n}, alors p ne divise ni y_{n}, ni 2x_{n}^{3} + y_{n}^{3}. Si p divise x_{n}^{3} + 2y_{n}^{3}, alors il ne divise pas y_{n}. La relation 2(x_{n}^{3} + 2y_{n}^{3}) = 2x_{n}^{3} + y_{n}^{3} + 3y_{n}^{3} implique que si p divise x_{n}^{3} + 2y_{n}^{3} et 2x_{n}^{3} + y_{n}^{3}, alors il divise 3y_{n}^{3} et donc p = 3. Ainsi 3 divise x_{n}^{3} + 2y_{n}^{3}, ce qui contredit la congruence x_{n}^{3} + 2y_{n}^{3} ≡ 1 (mod 3). Alors (x_{n+1}, y_{n+1}) = 1. Ainsi z_{n} n’est jamais nul. D’autre part, l’un des trois entiers x_{0}, y_{0} ou Az_{0} est pair, x_{0} par exemple. Alors x_{1} = x_{0}(x_{0}^{3} + 2y_{0}^{3}) est divisible par 2^{2} et par récurrence, x_{n} est divisible par 2^{n+1} pour tout n ≥ 2. Ceci donne la conclusion de la proposition. ■

Proposition 2. Soit A un entier sans facteurs cubiques. Soient x_{0} ≡ 2 (mod 3), y_{0} ≡ 1 (mod 3) et z_{0} des entiers vérifiant x_{0}^{3} + y_{0}^{3} = Az_{0}^{3} et x_{n}, y_{n}, z_{n} définis par les relations (3). Pour tout n ≥ 0, soient a_{n} = min(|x_{n}|^{3}, |y_{n}|^{3}, |Az_{n}^{3}|), c_{n} = max(|x_{n}|^{3}, |y_{n}|^{3}, |Az_{n}^{3}|) et b_{n} = c_{n} − a_{n}. Il existe alors un entier n_{0} ≥ 0 tel que pour tout n ≥ n_{0}, on ait:

α(a_{n}, b_{n}, c_{n}) = \frac{log c_{n}}{log r(a_{n}b_{n}c_{n})} > 1,

et

ρ(a_{n}, b_{n}, c_{n}) = \frac{log a_{n}b_{n}c_{n}}{log r(a_{n}b_{n}c_{n})} > 3.

Preuve. La proposition 1 montre que les triplets (a_{n}, b_{n}, c_{n}) sont formés d’entiers premiers entre eux vérifiants 0 < a_{n} < b_{n} et a_{n} + b_{n} = c_{n} et qu’ils sont en nombre infini. De plus pour tout n ≥ 1, a_{n}b_{n}c_{n} est divisible par 2^{3n}. Soit n_{0} un entier tel que (r(2A))^{3} < 2^{3n_{0}}|A|. Alors pour pour tout n ≥ n_{0} on a:

r(a_{n}b_{n}c_{n}) = r (\frac{|x_{n}y_{n}z_{n}|^{3}}{2^{3n}} 2^{3n}A) < (a_{n}b_{n}c_{n})^{1/3} < c_{n}.

Ceci donne les inégalités de la proposition. ■

Remarques.

(i) Les familles construites selon le modèle ci-dessus permettent aussi de montrer que la constante c(ε) qui correspond à ε dans les conjectures abc et de Szpiro est telle que

lim_{ε→0} c(ε) = +∞.

(ii) On peut étendre les familles construites ci-dessus en des familles quelconques issues de relations ax_{0}^{3} + by_{0}^{3} + cz_{0}^{3} = 0.

Proposition 3. Soit (a, b, c) un triplet d’entiers formant une relation abc. Il existe au plus un nombre fini de relations abc admettant le même rapport α que le triplet (a, b, c).

Preuve. Soit (a, b, c) un triplet formant une relation abc. Soit (x, y, z) un triplet d’entiers premiers entre eux vérifiant x + y = z, 0 < x < y < z et tels que α(x, y, z) = α(a, b, c). Alors

z = c^{log r(xyz)/ log r(abc)}.

Cette égalité n’est possible que si log r(xyz) = log r(abc) et donc z = c et r(xy) = r(ab). En particulier x + y = c, et d’après le théorème de Mahler, cette équation n’admet qu’un nombre fini de solutions. ■

Remarques.

(i) Il existe des triplets (a, b, c) qui n’ont pas d’autres représentants du même rapport α(a, b, c). Un exemple évident est le triplet (3, 5, 8).

(ii) Soit n ≥ 2 un entier. On définit les triplets (a_{n}, b_{n}, c_{n}) et (x_{n}, y_{n}, z_{n}) par:

\begin{matrix}a_{n} = 2 (2^{n−1} − 1) , b_{n} = (2^{n} − 1)^{2} , c_{n} = a_{n} + b_{n}, \\ x_{n} = 2^{n} − 1, y_{n} = 2^{n+1} (2^{n−1} − 1) , z_{n} = x_{n} + y_{n}. \end{matrix}

Alors c_{n} = z_{n}, r(a_{n}b_{n}) = r(x_{n}y_{n}) et donc on a:

α(a_{n}, b_{n}, c_{n}) = α(x_{n}, y_{n}, z_{n}).

On a vu précédemment que la conjecture abc implique que le rapport α est borné. Plus précisement, on a la proposition suivante.

Proposition 4. La conjecture abc implique qu’il existe une relation abc pour laquelle le rapport α est maximal.

Preuve. Admettons la conjecture abc. Supposons qu’il n’existe pas de relations abc admettant un rapport α maximal. Soit (a_{0}, b_{0}, c_{0}) une relation abc avec α(a_{0}, b_{0}, c_{0}) > 1. On peut donc construire une infinité de relations (a_{n}, b_{n}, c_{n}) telles que pour tout n ≥ 1, α(a_{n}, b_{n}, c_{n}) > α(a_{n−1}, b_{n−1}, c_{n−1}). D’autre part, la conjecture abc implique que pour tout réel ε > 0, il existe une constante positive c(ε) telle que pour tout n ≥ 0, on ait:

α(a_{n}, b_{n}, c_{n}) ≤ 1 + ε + \frac{c(ε)}{log r(a_{n}b_{n}c_{n})}.

Choisissons ε tel que 1 + ε < α(a_{0}, b_{0}, c_{0}). Comme les tiplets (a_{n}, b_{n}, c_{n}) sont différents deux à deux, alors d’après le théorème de Mahler, lim_{n→∞} r(a_{n}b_{n}c_{n}) = ∞ et donc:

lim_{n→∞} α(a_{n}, b_{n}, c_{n}) ≤ 1 + ε < α(a_{0}, b_{0}, c_{0}),

ce qui contredit la définition de la suite. ■

Remarque. La démonstration de la proposition 4 implique que pour toute relation (a, b, c) avec α(a, b, c) > 1, il n’existe qu’un nombre fini de relations abc admettant un meilleur rapport α.

En utilisant une démonstration similaire à celle de la proposition 4, on a:

Proposition 5. La conjecture abc implique qu’il existe une relation abc pour laquelle le rapport ρ est maximal.

III. Architecture des bonnes relations abc

Une vision rapide sur les bonnes relations abc des tables 3 et 4 montre que chacune de ces relations contient un exposant égal à 1, sauf quelques relations où le plus petit exposant qui apparaît est 2. On peut alors se poser la question suvante: “y a-t-il des relation abc (bonnes ou pas) dans lesquelles le plus petit exposant est 3, 4 ou plus?” Nous verrons comment la conjecture abc peut répondre à cette question. Donnons d’abord une définition.

Définition 1. Soit n ≥ 2 un entier. Un entier x > 0 est dit n-puissant si tout nombre premier p divisant x est tel que p^{n}|x.

La question ci-dessus devient maintenant: “Soit n ≥ 2 un entier. L’équation diophantienne x + y = z admet-elle des solutions en entiers n-puissants?” (a). Cas n = 2. L’équation ci dessus admet plusieurs familles de solutions infinies. Citons en quelques unes.

(i) Soient u et v deux entiers premiers entre eux. On définit les entiers de Pythagore x(u, v), y(u, v) et z(u, v) par:

x(u, v) = 2^{2}u^{2}v^{2},
y(u, v) = (u − v)^{2} ,
z(u, v) = (u^{2} + v^{2})^{2} .

Alors x(u, v), y(u, v) et z(u, v) sont une réponse pour la question avec n = 2.

(ii) Soient u et v deux entiers premiers entre eux. On définit les entiers x(u, v), y(u, v) et z(u, v) par:

x(u, v) = 3^{3} (\frac{uv(u + v)}{2})^{2} ,

y(u, v) = (\frac{(u − v)(u + 2v)(2u + v)}{2})^{2} ,

z(u, v) = (u^{2} + uv + v^{2})^{3} .

Alors x(u, v), y(u, v) et z(u, v) sont une une réponse pour la question avec n = 2.

(iii) Définissons les suites (x_{k}), (y_{k}) et z_{k}) par x_{0} = 2, y_{0} = 1 et z_{0} = 1 et par les relations de récurrences (3). Alors x_{k}, y_{k} et z_{k} vérifient:

x_{k}^{3} + y_{k}^{3} = 3^{2}z_{k}^{3}

et sont donc une une réponse pour la question avec n = 2.

(b). Cas n = 3. Une seule solution était connue pour l’équation correspondante (voir [Bro-Brz]):

271^{3} + 2^{3} · 3^{5} · 73^{3} = 919^{3}.

D’autre part, P. Erdös avait proposé la conjecture suivante (voir [Guy], B 16):

Conjecture 1. (Erdös). Il existe une infinité de triplets 3-puissants (x, y, z) premiers entre eux tels que x + y = z.

Nous donnons ci dessous trois familles infinies de triplets 3-puissants répondant à la conjecture d’Erdös. Ces familles sont construites par les relations (3) à partir de relations du genre x_{0}^{3} + y_{0}^{3} = Az_{0}^{3} où r(A)|r(z_{0}). C’est le cas pour les relations:

\begin{aligned}17^{3}.106219^{3} − 37^{3}.197^{3}.307^{3} & = −2^{7}.3^{4}.5^{3}.7^{3}.2287^{3}, \\ −271^{3} + 919^{3} & = 2^{3}.3^{5}.73^{3}, \\ 89^{3}.307^{3}.2341^{3} − 17^{3}.19^{3}.83341^{3} & = 2^{5}.3^{4}.7^{3}.13^{3}.9973^{3}. \end{aligned}

(c). Cas n = 4. Pour n = 4, aucune réponse n’est connue. P. Erdös conjecture qu’il n’y a qu’un nombre fini de solutions (voir aussi [Guy], B 16)). La même conclusion peut être obtenue comme conséquence de la conjecture abc:

Proposition 6. La conjecture abc implique qu’il n’y a qu’un nombre fini de triplets (x, y, z) d’entiers 4-puissants premiers entre eux tels que x + y = z.

Preuve. Appliquons la conjecture abc au triplet (x, y, z). On obtient:

z ≤ c(ε)(xyz)^{(1+ε)/4} ≤ c(ε)z^{3(1+ε)/4}.

Alors

z^{1−3(1+ε)/4} ≤ c(ε),

et donc que z est borné. ■

(d) Pour n ≥ 5, nous avons le résultat suivant, qui s’appuie sur l’exemple d’E. Reyssat, qui est le meilleur exemple connu actuellement pour la conjecture abc:

2 + 3^{10} · 109 = 23^{5}, α_{0} = 1.62991.

Proposition 7. Si la conjecture abc est vraie et si l’exemple de Reyssat est le meilleur pour la conjecture abc, alors il n’existe pas de triplet (x, y, z) d’entiers positifs n-puissants premiers entre eux et vérifiant x + y = z pour n ≥ 5.

Preuve. Si (x, y, z) est un triplet abc tel que x, y et z sont n-puissant, alors:

r(xyz) ≤ (xyz)^{1/n},

et donc:

n ≤ \frac{log(xyz)}{log r(xyz)} ≤ 3α_{0} < 5,

ce qui termine la preuve. ■

IV. Application des algorithmes

Dans leur principe, les algorithmes de détermination des bonnes relations abc, décrits dans le chapitre 3 sont efficaces et ne posent aucune difficulté. Tel devrait être le cas si on dispose d’un moyen rapide de factorisation des entiers. En effet l’étape dominante de ces algorithmes consiste en la factorisation des entiers x, y et z obtenus en prenant x = tv−cu, y = v, z = (ax^{n} − by^{n})/c, où a, b, c et n sont des entiers donnés et t est une solution de la congruence t^{n} ≡ ba^{−1} (mod c) et où finalement u et v sont tels que u/v est une réduite de l’expansion de (t − (b/a)^{1/n})/c en fraction continue. A défaut d’une méthode assez rapide de factorisation des entiers, nous avons utilisé tout simplement la méthode du crible d’Erathostène en nous limitant aux nombres premiers inférieurs à 300. La plupart de nos bonnes relations abc figurant dans les tables 3 et 4 à la fin de ce chapitre contiennent des facteurs premiers inférieurs à 300. Plus exactement, nous avons les résultats suivants:

- Pour la table 1, le pourcentage des bonnes relations obtenues avec x ou y contenant des facteurs supérieurs à 301 est de 8/100. On remarque aussi que la première de ces relations se trouve à la 11eme place.

- Pour la table 2, ce pourcentage est de 8/100 et la première de ces relations apparaît à la 28eme place.

On remarque que le pourcentage des bonnes relations abc formées de x ou de y contenant des facteurs supérieurs à 300, obtenues par les algorithmes est le même pour les deux tables 3 et 4. Les bonnes relations de ces deux tables ont été obtenues avec les bornes suivantes pour a, b, c et n.

(i) n = 2, 1 ≤ a ≤ |b| ≤ 300 avec b < 0, c = p^{e} où p est un nombre premier satisfaisant 2 ≤ p ≤ 31 et e est un entier positif tel que p^{e} ≤ 2^{60} [Nit1].

(ii) n = 2, 1 ≤ a ≤ b ≤ 300, c = p^{e} où p est un nombre premier satisfaisant 2 ≤ p ≤ 31 et e est un entier positif tel que p^{e} ≤ 2^{40} [Nit1].

(iii) n = 3, 5, 1 ≤ a ≤ b ≤ 200, c = p^{e} où p est un nombre premier satisfaisant 2 ≤ p ≤ 31 et e est un entier tel que p^{e} ≤ 2^{40}.

Nos algorithmes ont ainsi déterminés 103 relations abc vérifiant ρ(a, b, c) ≥ 3.8 et 86 relations avec α(a, b, c) ≥ 1.4.

Il est clair que les exemples des tables 3 et 4 ont été obtenus d’une façon particulière et que ces tables ne sont complètes dans aucun sens, c’est à dire qu’il existe peut être de bonnes relations abc qui sont inférieures à la plus grande relation de ces tables, mais qui n’y figurent pas.

V. Tables des bonnes relations abc

Dans cette partie, nous avons listé, avec leur auteurs, toutes les bonnes relations X+Y = Z avec (X, Y, Z) = 1 et 0 < X < Y < Z relativement à α et ρ dans la tables 3 et la table 4 respectivement. Quelques exemples (indiqués avec un astérisque) n’ont pas été déterminés par nos algorithmes. D’autre part, plusieur exemples ont été découverts en même temps, mais indépendamment par J. Browkin et J. Brzezinski. Ces exemples sont indiqués par les initiales B-B (voir [Bro-Brz]).

L’algorithme de Browkin et de Brzezinski utilise aussi des méthodes d’approximation. Plus précisement, étant donnés un entier n ≥ 2 et un entier positif a, l’algorithme consiste à déterminer des réduites p/q du développement de a^{1/n} en fraction continue, en prenant x = min(p^{n}, aq^{n}, |p^{n} − aq^{n}|, z = max(p^{n}, aq^{n}, |p^{n} − aq^{n}| et y = z − x, on obtient une relation, qui en la simplifiant donnera une relation abc. La suite se borne alors à calculer les valeurs de α(x, y, z) et ρ(x, y, z).

Nr X  Y  Z  α  First author
1) 2  3^{10}.109  23^{5}  1.62991 E. Reyssat
2) 11^{2}  3^{2}.5^{6}.7^{3}  2^{21}.23  1.62599 B.M.M. de Weger
3)^{∗} 19.1307  7.29^{2}.31^{8}  2^{8}.3^{22}.5^{4}  1.62349 B-B
4) 283  5^{11}.13^{2}  2^{8}.3^{8}.17^{3}  1.58076 B-B, A. Nitaj
5) 1  2.3^{7}  5^{4}.7  1.56789 B.M.M. de Weger
6) 7^{3}  3^{10}  2^{11}.29  1.54708 B.M.M. de Weger
7) 13.19^{6}  2^{30}.5  3^{13}.11^{2}.31  1.52700 A. Nitaj
8) 239  5^{8}.17^{3}  2^{10}.37^{4}  1.50284 B-B, A. Nitaj
9) 5^{2}.7937  7^{13}  2^{18}.3^{7}.13^{2}  1.49762 B.M.M. de Weger
10) 2^{2}.11  3^{2}.13^{10}.17.151.4423 5^{9}.139^{6}  1.49243 A. Nitaj
11) 73  2^{13}.7^{7}.941^{2}  3^{16}.103^{3}.127 1.49159 A. Nitaj
12) 11^{2}  3^{9}.13  2^{11}.5^{3}  1.48887 B.M.M. de Weger
13) 37  2^{15}  3^{8}.5  1.48291 B.M.M. de Weger
14) 1  3^{16}.7  2^{3}.11.23.53^{3} 1.47445 A. Nitaj
15) 7^{2}  2^{10}.11.53^{2}  3^{4}.5^{8}  1.47414 B-B, A. Nitaj
16) 3^{4}.199  11^{8}  2^{3}.5^{7}.7^{3}  1.47130 B-B, A. Nitaj
17) 2^{7}.5^{2}  7^{6}.41  13^{6}  1.46192 B.M.M. de Weger
18) 3^{2}.5^{2}  2^{4}.17^{3}.31^{4}  7^{10}.257  1.45707 A. Nitaj
19) 1  2^{5}.3.5^{2}  7^{4}  1.45567 B.M.M. de Weger
20) 3^{2}.11^{6}  2^{35}  19^{5}.13883  1.45513 B-B
21) 2^{19}.13.103 7^{11}  3^{11}.5^{3}.11^{2}  1.45261 B.M.M. de Weger
22) 3^{5}.7  5^{6}.67  2^{20}  1.45134 B-B, A. Nitaj
23) 3^{5}.7^{3}  2^{13}.23^{3}.59  5^{3}.19^{6}  1.45086 B-B
24) 1  3^{3}.5^{3}.7^{7}.23  2^{13}.11^{4}.13.41 1.45003 A. Nitaj

Table 3 (continued)

Nr X  Y  Z  α  First author
25) 1  3.5^{5}.47^{2}  2^{18}.79  1.44965 G. Frey
26) 11^{2}.43  5^{9}.7^{2}.13^{4}.97  2^{3}.3.73^{7}  1.44798 A. Nitaj
27) 89  7.11^{8}  2^{20}.3^{3}.53  1.44774 A. Nitaj
28) 3^{2}.5^{7}.79  2^{29}.13  11^{7}.19^{2}  1.44625 A. Nitaj
29) 2.13^{2}  5^{8}  3.19^{4}  1.44506 B-B, A. Nitaj
30) 1  2^{12}.5^{3}  3^{5}.7^{2}.43  1.44331 B.M.M. de Weger
31) 3^{2}.19^{3}  5^{11}  2^{17}.373  1.44328 B-B, A. Nitaj
32) 31^{3}  2.17.41^{5}  3.5^{7}.7^{5}  1.44144 A. Nitaj
33) 3^{4}.23^{2}  31^{5}  2^{15}.5^{3}.7  1.44097 B-B, A. Nitaj
34) 1  2^{4}.3^{7}.547  5^{8}.7^{2}  1.43906 B.M.M. de Weger
35)^{∗} 1  19.509^{3}  2^{19}.3^{4}.59  1.43836 B-B
36) 2.13^{5}  7^{6}.173^{2}  3^{13}.47^{2}  1.43618 A. Nitaj
37) 2^{10}.7  5^{7}  3^{8}.13  1.43501 B.M.M. de Weger
38) 2^{5}.3^{18}  5^{6}.7^{10}.23^{2}  11^{9}.990203 1.43346 A. Nitaj
39) 31^{2}  3^{5}.5^{9}  2^{5}.23^{4}.53  1.43304 B-B, A. Nitaj
40) 2^{21}  7^{6}.17.8209^{2}  5^{12}.743^{2}  1.43290 A. Nitaj
41) 2^{9}.19^{2}  59^{6}.73  3^{3}.5^{7}.7^{2}.31^{3} 1.43109 A. Nitaj
42) 193  2.5^{6}.19^{2}.1193^{2} 3^{9}.13^{8}  1.43042 A. Nitaj
43) 3^{6}.7^{2}.13.127^{2} 2^{38}.61.137  5^{11}.19^{6}  1.43018 B-B
44) 3^{9}.29  7^{6}.43^{2}  2^{24}.13  1.42955 A. Nitaj
45) 3^{21}  7^{2}.11^{6}.199  2.13^{8}.17  1.42907 A. Nitaj
46) 73^{2}  2^{11}.11^{4}.13^{3}  3^{11}.5^{5}.7.17 1.42891 B-B
47) 11  7^{3}.167^{2}  2.3^{14}  1.42832 B-B, A. Nitaj
48) 73  11^{5}.157^{2}  2^{2}.3^{10}.7^{5}  1.42757 B-B, A. Nitaj

Nr X  Y  Z  α  First author
49) 61^{4}  2^{20}.41^{3}.83^{2} 3^{22}.5.19.167  1.42749 A. Nitaj
50) 3^{10}  7^{8}.23  2^{9}.509^{2}  1.42712 A. Nitaj
51) 31  2^{5}.5^{10}.19^{2} 3.7^{5}.11^{3}.41^{2}  1.42675 B-B, A. Nitaj
52) 3  5^{3}  2^{7}  1.42657 B.M.M. de Weger
53) 5^{2}.11  13^{3}.1483^{2} 2^{29}.3^{2}  1.42338 B-B, A. Nitaj
54) 2^{4}.59  5^{12}.19  3^{3}.11^{2}.17^{5}  1.42183 B-B, A. Nitaj
55) 5^{7}  11^{5}.13^{2}  2^{15}.7^{2}.17  1.42158 A. Nitaj
56) 2^{9}.37^{3}.89  3^{9}.5^{9}.31  103^{6}  1.42101 A. Nitaj
57) 7^{8}.19  2^{15}.5^{2}.37^{2} 3.17^{7}  1.42044 A. Nitaj
58) 23^{3}  3^{9}.5^{7}.31  2^{7}.7^{3}.13.17^{4}  1.42004 A. Nitaj
59) 7^{2}  2^{17}.181^{2}  3^{8}.809^{2}  1.41892 B-B, A. Nitaj
60)^{∗} 13.3499  2^{39}  3^{4}.5^{11}.139  1.41823 B-B
61)^{∗} 5^{6}.1609  2^{9}.3^{14}.13^{3} 1523^{4}  1.41763 B-B
62) 3^{9}.43^{3}  5^{13}.5323  2^{7}.7^{3}.23^{6}  1.41679 A. Nitaj
63)^{∗} 41^{4}.33941 3^{12}.19^{7}  2^{23}.5^{9}.29  1.41644 B-B
64) 3.5^{4}.599  11.23^{8}  2^{22}.59^{3}  1.41605 B-B, A. Nitaj
65) 7^{3}  5^{13}.181  2^{4}.3.11.13^{2}.19^{5} 1.41556 A. Nitaj
66) 3^{11}.5^{4}  7.11^{6}.43  2^{17}.17^{3}  1.41450 G. Xiao
67) 2^{6}.5.137  3^{14}  13^{6}  1.41370 B-B, A. Nitaj
68) 5^{2}  3^{7}.13^{3}  2^{8}.137^{2}  1.41328 B-B, A. Nitaj
69) 3^{6}.157^{3}.283 23^{10}  2^{30}.5^{2}.11^{2}.13 1.41317 B-B, A. Nitaj
70) 5  3^{11}  2^{10}.173  1.41268 B.M.M. de Weger
71) 79^{3}  3^{6}.7.11.13^{5} 2^{18}.43^{3}  1.41168 A. Nitaj
72) 3.13^{2}.1049 2^{39}.29^{2}.107 19^{3}.139^{6}  1.41161 B-B, A. Nitaj

Nr X  Y  Z  α  First author
73)^{∗} 67^{2}.2399 3^{13}.107^{3}  2^{6}.5^{15}  1.41068 B-B
74) 2^{13}.3^{13}.11^{3} 13.29.43^{6}.673 5^{20}.17  1.41004 A. Nitaj
75) 7^{2}  83^{5}  2^{2}.3^{12}.17.109 1.40897 B-B, A. Nitaj
76) 2^{2}.13  7^{3}.41^{5}.181  3^{14}.5.67^{3}  1.40779 A. Nitaj
77) 3^{2}.233  23^{7}.293^{2}  2^{15}.5^{2}.13^{5}.31^{2} 1.40740 A. Nitaj
78)^{∗} 241  2^{12}.3^{4}.5^{6}.1181 11^{8}.13^{4}  1.40721 B-B
79) 3^{9}.163  2^{3}.11^{6}.17  5^{12}  1.40705 B-B, A. Nitaj
80) 7^{9}  3^{2}.5^{7}.13^{3}  2^{16}.19^{2}.67  1.40652 J. Kanapka
81) 2^{19}.367^{3}  5^{17}.197.281  13^{2}.251^{6}  1.40642 A. Nitaj
82) 2^{16}.41.71 3^{15}.7^{2}  19^{7}  1.40610 A. Nitaj
83) 5.7^{2}  13^{2}.43^{3}  2^{11}.3^{8}  1.40608 B-B, A. Nitaj
84) 13^{3}  2^{9}.37^{2}  3^{2}.5^{7}  1.40578 A. Nitaj
85) 2^{24}.3^{5}  5.19^{5}.59^{2}  7^{10}.167  1.40544 A. Nitaj
86) 631  2^{26}.5.29^{2}  3^{3}.7^{10}.37  1.40448 A. Nitaj
87) 1  3^{9}.7^{2}.197  2^{7}.5^{7}.19  1.40426 A. Nitaj
88) 3^{3}.13  2^{5}.11.19^{2}.73^{3} 5^{2}.7^{11}  1.40348 A. Nitaj
89) 3^{12}.5^{6}  31^{2}.7^{9}  2^{9}.11^{5}.571  1.40218 A. Nitaj
90) 2^{33}.5  3^{9}.7^{6}.31^{2}.97 11^{2}.19^{3}.127^{4} 1.40198 A. Nitaj

Nr X  Y  Z  ρ  First author
1) 13.19^{6}  2^{30}.5  3^{13}.11^{2}.31  4.41901 A. Nitaj
2) 2^{19}.13.103  7^{11}  3^{11}.5^{3}.11^{2}  4.24789 B.M.M. de Weger
3) 3^{21}  7^{2}.11^{6}.199  2.13^{8}.17  4.20094 A. Nitaj
4) 7.11^{6}.43  3^{11}.5^{4}  2^{17}.17^{3}  4.10757 G. Xiao
5) 2^{16}.41.71  3^{15}.7^{2}  19^{7}  4.09655 A. Nitaj
6) 3^{12}.5^{6}  7^{9}.31^{2}  2^{9}.11^{5}.571  4.09647 A. Nitaj
7) 7^{8}.19  2^{15}.5^{2}.37^{2}  3.17^{7}  4.09080 A. Nitaj
8) 2^{24}.3^{5}  5.19^{5}.59^{2}  7^{10}.167  4.07114 A. Nitaj
9) 3^{6}.157^{3}.283  23^{10}  2^{30}.5^{2}.11^{2}.13 4.05990 B-B, A. Nitaj
10) 2^{13}.3^{13}.11^{3}  13.29.43^{6}.673 5^{20}.17  4.04710 A. Nitaj
11) 5^{13}.13  2^{17}.19^{3}.23  3^{17}.283  4.04498 A. Nitaj
12) 3^{2}.5^{7}.79  2^{29}.13  11^{7}.19^{2}  4.02943 A. Nitaj
13) 2.5^{9}  3^{14}  7^{5}.11.47  4.01342 A. Nitaj
14) 2^{10}.19^{10}  5^{6}.13^{4}.29^{5}  3^{20}.4425749 4.00292 A. Nitaj
15) 5^{3}.11^{4}.31^{2}  3^{17}.7^{2}  2^{25}.241  4.00087 A. Nitaj
16) 2^{8}.7^{2}.19^{6}  5^{9}.113^{2}.193 3.23^{9}  3.99793 A. Nitaj
17) 7^{7}.11^{3}  2^{18}.3^{4}.103  5^{9}.41^{2}  3.99129 A. Nitaj
18) 2^{10}.7  5^{7}  3^{8}.13  3.98092 B.M.M. de Weger
19) 19^{8}  31^{7}  2^{11}.7^{4}.9049 3.97796 A. Nitaj
20) 2^{15}.3.19.29^{2} 5^{10}.7^{4}  13^{2}.23^{6}  3.97457 A. Nitaj
21) 7^{9}  3^{2}.5^{7}.13^{3}  2^{16}.19^{2}.67  3.97414 J. Kanapka
22) 3^{10}.7^{4}.11^{2}  17^{6}.31  2^{14}.103^{3}  3.96813 A. Nitaj
23) 2^{13}.47^{3}  3^{9}.17^{3}.23  7^{2}.13^{7}  3.96555 A. Nitaj
24) 7^{2}.17^{4}.856897 2^{41}.3^{2}  13^{12}  3.96025 A. Nitaj

Nr X  Y  Z  ρ  First author
25) 2^{25}.3^{4}.29.10753 7^{4}.151^{2}.181^{4} 5^{24}  3.95603 A. Nitaj
26) 61^{4}  3^{13}.53  2^{13}.5.7^{4}  3.95432 A. Nitaj
27) 3^{13}.19  7.53^{4}  2^{10}.17^{4}  3.95368 A. Nitaj
28) 2^{19}.367^{3}  5^{17}.197.281  13^{2}.251^{6}  3.94750 A. Nitaj
29) 2^{11}.17^{4}  3^{14}.7^{3}  5^{6}.23.71^{2}  3.94732 A. Nitaj
30) 2^{9}.37^{3}.89  3^{9}.5^{9}.31  103^{6}  3.94362 A. Nitaj
31) 7^{5}.23^{2}.41^{4}  2^{9}.3^{8}.5^{6}.17^{3}  19^{9}.877  3.93186 A. Nitaj
32) 11^{8}.13.37  3^{5}.5^{7}.23^{3}  2.7^{6}.17^{5}  3.92463 A. Nitaj
33) 7.11^{5}  3^{9}.17^{2}  2^{19}.13  3.92103 A. Nitaj
34) 2^{36}.59^{3}  11^{2}.13.97^{6}.193 3^{8}.5^{7}.19^{2}.113^{3} 3.91921 A. Nitaj
35) 3^{8}.227  2^{13}.13^{3}  11^{7}  3.91680 A. Nitaj
36) 2.7^{4}.53.199^{2}  3^{20}.5  31^{7}  3.91546 A. Nitaj
37) 7^{3}  3^{10}  2^{11}.29  3.91498 B.M.M. de Weger
38) 7^{2}.11^{3}.89.61^{3}  3^{26}  2^{6}.5^{12}.13.19 3.91016 A. Nitaj
39) 7^{10}.13^{2}.19  3^{9}.23.2017^{2}  2^{39}.5  3.90797 A. Nitaj
40) 3^{8}.17^{4}  2^{12}.2917^{2}  5^{13}.29  3.90706 A. Nitaj
41) 5^{7}.37  7^{5}.19^{2}  2^{12}.3^{7}  3.90705 A. Nitaj
42) 3^{20}.89.647  2^{10}.5^{12}.13^{3}  7^{3}.11^{8}.101^{2}  3.90650 A. Nitaj
43) 2^{25}.5^{3}.17  3^{19}.191  7^{5}.13^{5}.47  3.90577 A. Nitaj
44) 3^{2}.11^{6}  2^{35}  19^{5}.13883  3.90495 B-B
45) 3^{9}.163  2^{3}.11^{6}.17  5^{12}  3.90458 B-B, A. Nitaj
46) 2^{6}.7.73^{5}  13.17^{9}  3.5^{4}.19.37^{5}  3.89774 A. Nitaj
47) 2^{21}  5.11^{4}.17  3^{2}.13^{5}  3.89491 A. Nitaj
48) 5^{12}.29^{3}  13^{2}.19.97^{3}  2^{13}.3^{2}.769^{3}  3.89428 A. Nitaj

Nr X  Y  Z  ρ  First author
49) 7^{6}.229  2^{2}.5^{2}.11^{5}  3^{16}  3.89124 A. Nitaj
50) 2^{9}.3^{10}  41^{4}.73  7^{2}.13^{6}  3.88985 A. Nitaj
51) 7^{13}.11  5^{6}.17^{2}.23^{4}  2.3^{7}.37^{2}.73^{3} 3.88786 A. Nitaj
52) 5^{8}.14747  2^{6}.3^{17}  107^{5}  3.88584 B-B
53) 2^{14}.5^{2}.19^{2}  3^{18}  13.17^{5}.29  3.88358 A. Nitaj
54) 71.3319^{3}  2^{11}.3^{2}.19^{7}.601 17^{13}  3.88214 A. Nitaj
55) 3^{2}.5^{7}.7^{9}  19^{6}.31^{2}.149  2^{26}.23^{3}.43  3.88148 A. Nitaj
56) 7.17.23^{6}  13^{2}.109^{4}  2^{15}.3^{4}.5^{6}  3.87332 A. Nitaj
57) 2^{9}.11.503^{3}  5^{12}.7^{5}.13  3^{10}.971^{3}  3.86720 A. Nitaj
58) 53^{4}.139^{2}  2^{21}.11.23^{3}  3^{8}.5^{8}.13^{2}  3.86707 A. Nitaj
59) 3^{7}.5^{12}.11.17 2^{35}.23.4969  7^{4}.109^{6}  3.86658 A. Nitaj
60) 5^{7}.157  2^{4}.19^{5}  3^{2}.7^{8}  3.86443 A. Nitaj
61) 7^{5}.11.73^{2}  2^{25}.131  3^{16}.5^{3}  3.86255 A. Nitaj
62) 5^{14}.8933  2^{23}.13^{2}.41^{3}  3^{11}.7^{4}.71^{3}  3.86215 A. Nitaj
63) 11^{4}.23^{6}.37^{3} 2^{6}.19^{9}.6113  3^{10}.5^{6}.13^{6}.53 3.85830 A. Nitaj
64) 5^{7}.941^{3}  3^{22}.2503  2^{17}.1031^{3}  3.85420 A. Nitaj
65) 3^{22}.71  2^{2}.5^{7}.23^{5}  7^{7}.37.373^{2}  3.85305 A. Nitaj
66) 7^{2}.47^{3}.151^{2} 5^{2}.17^{10}  2^{3}.3^{16}.383^{2} 3.85206 A. Nitaj
67) 3^{8}.5^{3}.103^{2}  7^{9}.17^{2}.37  2^{4}.31^{7}  3.85135 A. Nitaj
68) 3^{9}.43^{3}  5^{13}.5323  2^{7}.7^{3}.23^{6}  3.85026 A. Nitaj
69) 2^{13}.7^{4}.17.29^{3} 3^{20}.31  11^{3}.13^{3}.41^{4} 3.84962 A. Nitaj
70) 3^{9}.29  7^{6}.43^{2}  2^{24}.13  3.84578 A. Nitaj
71) 5^{9}  3.11^{2}.13^{4}  2^{18}.47  3.84519 A. Nitaj
72) 2^{33}.5  3^{9}.7^{6}.31^{2}.97 11^{2}.19^{3}.127^{4} 3.84392 A. Nitaj

Nr X  Y  Z  ρ  First author
73) 2^{15}.7^{4}.659  23^{7}.37  3^{21}.17  3.84365 A. Nitaj
74) 3.29^{7}  5^{8}.11^{4}.17  2^{5}.31^{4}.71^{2}  3.84322 A. Nitaj
75) 3.7^{17}  2^{14}.41^{3}.547^{3}  11.13^{9}.29^{2}.31.61 3.83721 A. Nitaj
76) 5^{14}.7^{6}  2^{33}.3.17.5471 41^{4}.1033^{3}  3.83711 A. Nitaj
77) 2^{17}  5^{5}.71  3.7^{6}  3.83645 A. Nitaj
78) 109^{3}.2383^{3}  2^{50}.7^{2}.17.19.31 3^{17}.53^{6}.193  3.83622 A. Nitaj
79) 11^{5}.191^{3}  3^{6}.5^{8}.7^{3}.29^{2}  2^{2}.13^{10}.151  3.83512 A. Nitaj
80) 7^{5}.17^{4}  2^{2}.3.5.31^{6}  13^{8}.67  3.83405 A. Nitaj
81) 3^{4}.11^{8}.59.89  7^{12}.47^{2}.173  2^{21}.37^{6}  3.82814 A. Nitaj
82) 5^{5}.17.43^{2}.59  2^{31}.11  3^{6}.7^{9}  3.82640 A. Nitaj
83) 23.701^{4}  2.11^{6}.13.17^{5}  3.5^{17}.31  3.82619 A. Nitaj
84) 5^{4}.17^{6}  3^{13}.23^{2}.101  2^{15}.11^{5}.19  3.82547 A. Nitaj
85) 19^{9}.4978973  7^{13}.367^{3}  2^{4}.3^{6}.11^{5}.23^{7}  3.82319 A. Nitaj
86) 17^{9}.61861.77279 7^{10}.373^{5}  2^{17}.5^{16}.19^{4}  3.82278 A. Nitaj
87) 2^{17}  3^{10}.17  5.61^{3}  3.82250 A. Nitaj
88) 3^{13}.5^{4}.23.73^{3}  2^{24}.13^{12}  11^{12}.29.4294769 3.82096 A. Nitaj
89) 17^{7}  13^{6}.103  2^{5}.3.5^{7}.11^{2}  3.82031 A. Nitaj
90) 7^{11}  2^{4}.3^{15}.11  5^{8}.11527  3.81827 A. Nitaj
91) 2^{7}.5^{2}.7^{2}.103^{3}  3^{12}.11^{6}.19  13^{10}.131  3.81767 A. Nitaj
92)^{∗} 3^{3}.47^{2}.2081  2^{37}  5.31^{7}  3.81593 B-B
93) 3^{6}.11^{4}.23^{3}.37^{2} 2^{11}.61^{6}  5^{15}.9283  3.81427 A. Nitaj
94) 3^{13}.37.79  2^{18}.5^{5}.7^{2}  11^{9}.19  3.81383 A. Nitaj
95) 5^{9}.23  2^{6}.3^{5}.17^{3}  7^{2}.19^{5}  3.81382 A. Nitaj
96) 2^{27}.11  5^{9}.853  3^{16}.73  3.81361 A. Nitaj

Nr X  Y  Z  ρ  First author
97)^{∗} 2^{12}.13^{2}.271  3^{10}.11.53^{3}  7^{13}  3.81119 B-B
98) 3^{8}.56599^{2}  13^{4}.23^{5}.37^{2}  2^{43}.31  3.80972 A. Nitaj
99)^{∗} 7^{3}.103.2887403261 2^{7}.5^{25}  3^{25}.19^{6}  3.80887 B-B
100) 2^{6}.5.137  3^{14}  13^{6}  3.80839 B-B, A. Nitaj
101) 2^{5}.3^{18}  5^{6}.7^{10}.23^{2}  11^{9}.990203 3.80838 A. Nitaj
102) 19^{5}  2^{12}.11^{3}  3^{7}.5^{3}.29  3.80812 A. Nitaj
103) 3^{15}.7  2^{7}.23.59^{3}  5^{9}.19^{2}  3.80656 A. Nitaj
104) 149^{4}  2^{5}.5^{5}.7^{2}.13.47 3^{20}  3.80576 A. Nitaj
105) 2^{26}.41^{2}  7^{3}.1217^{3}  3^{19}.17.37 3.80565 A. Nitaj
106)^{∗} 2^{6}.7^{3}.17.29.503  11^{10}  3^{22}  3.80274 B-B

APPENDICES

Appendice A: Les courbes elliptiques Appendice B: Les fractions continues Appendice C: Résolution des congruences

Appendice A

Les courbes elliptiques

1. Généralités

La théorie des courbes elliptiques est vaste. Dans cet appendice, nous nous bornerons à quelques définitions et propriétés dont nous avons besoin sur les courbes elliptiques définies sur Q . Pour plus amples informations, voir par exemple [Sil1]. Soit E une courbe elliptique définie sur Q par une équation de Weierstrass:

(1)  E : y^{2} + a_{1}xy + a_{3}y = x^{3} + a_{2}x^{2} + a_{4}x + a_{6},  (a_{i} ∈ Q ).

Suivant [Sil1], on définit les quantités:

b_{2} = a_{1}^{2} + 4a_{2},
b_{4} = a_{1}a_{3} + 2a_{4},
b_{6} = a_{3}^{2} + 4a_{6},
b_{8} = a_{1}^{2}a_{6} + 4a_{2}a_{6} − a_{1}a_{3}a_{4} + a_{2}a_{3}^{2} − a_{4}^{2},
c_{4} = b_{2}^{2} − 24b_{4},
c_{6} = −b_{2}^{3} + 36b_{2}b_{4} − 216b_{6}.

Le discriminant de E sur Q est:

Δ = −b_{2}^{2}b_{8} − 8b_{4}^{3} − 27b_{6}^{2} + 9b_{2}b_{4}b_{6} ≠ 0.

L’invariant absolu de E est:

j = \frac{c_{4}^{3}}{Δ} .

Il existe plusieurs relations entre les quantités associées à une courbe elliptique. En particulier, nous avons les suivantes:

\begin{matrix}4b_{8} = b_{2}b_{6} − b_{4}^{2}, \\ 1728Δ = c_{4}^{3} − c_{6}^{2}. \end{matrix}

A un isomorphisme près, la courbe elliptique E est définie sur Q par son invariant absolu j. Tout isomorphisme préservant la forme de Weierstrass de E sur Q est une transformation du type:

\begin{matrix}x = u^{2}x′ + r, \\ y = u^{3}y′ + u^{2}sx′ + t, \end{matrix}

avec u, r, s, t rationnels et u ≠ 0. Cet isomorphisme transforme la courbe eeliptique E définie par l’équation (1) en une courbe elliptique E′ définie sur Q par l’équation:

E′ : y′^{2} + a′_{1}x′y′ + a′_{3}y′ = x′^{3} + a′_{2}x′^{2} + a′_{4}x′ + a′_{6}, (a′_{i} ∈ Q ),

pour laquelle on a:

\begin{matrix}c′_{4} = u^{−4}c_{4}, \\ c′_{6} = u^{−6}c_{6}, \end{matrix}

et le discriminant:

Δ′ = u^{−12}Δ.

L’invariant absolu reste le même. On peut alors simplifier l’équation (1) en remplaçant y par (y − a_{1}x − a_{3})/2, ce qui donne une nouvelle équation pour E:

(2)  E : y^{2} = 4x^{3} + b_{2}x^{2} + 2b_{4}x + b_{6}.

On peut aussi simplifier l’équation ci dessus en remplaçant x par (x − 3b_{2})/36 et y par y/216, ce qui donne une nouvelle équation pour E:

E : y^{2} = x^{3} − 27c_{4}x − 54c_{6}.

On vient de montrer que toute courbe elliptique définie sur Q peut se mettre sous une forme de Weierstrass courte:

E : y^{2} = x^{3} + Ax + B, (A, B ∈ Q ),

ayant pour discriminant:

Δ = −16(4A^{3} + 27B^{2}),

et pour invariant absolu:

j = 1728\frac{(4A)^{3}}{Δ} .

2. Modèle minimal d’une équation de Weierstrass

Soit p un nombre premier. Pour tout nombre rationnnel r = \frac{m}{n}p^{ν}, avec m et n premier avec p, on pose:

ord_{p}(r) = ν,

et par convention ord_{p}(0) = ∞. On peut définir alors une valeur absolue non-archimédienne |.|_{p} en posant pour tout rationnel r:

|r|_{p} = p^{−ord_{p}(r)},

et, toujours par convention, |0|_{p} = 0. Cette valeur absolue est appelée valeur absolue p-adique sur Q . Soit E une courbe elliptique définie par l’équation de Weierstrass (1). Soit d le dénominateur commun des a_{i}. En remplaçant x par d^{−2}x et y par d^{−3}y, on obtient une équation de Weierstrass dont tous les a_{i} sont entiers. Alors le discriminant Δ est entier, et pour tout nombre premier p, on a ord_{p}(Δ) ≥ 0. On pose alors la définition suivante:

Définition 1. Soit E une courbe elliptique définie sur Q par l’équation de Weierstrass (1). Cette équation est dite minimale si chaque a_{i} est entier et si pour tout nombre premier p, ord_{p}(Δ) est minimal. Le discrminant minimal de la courbe elliptique E est alors Δ.

En pratique, pour reconnaître un modèle minimal, il faut considérer les quantités c_{4} (ou c_{6}) et Δ. On sait que toute courbe elliptique E définie sur Q admet une équation de Weierstrass courte:

E : y^{2} = x^{3} − 27c_{4}x − 54c_{6}, (c_{4}, c_{6} ∈ ZZ ),

de discriminant Δ. Si p est un nombre premier tel que p^{4}|c_{4} et p^{12}|Δ, alors en remplaçant x par p^{2}x et y par p^{3}y, on obtient une nouvelle équation:

E : y^{2} = x^{3} − 27c′_{4}x − 54c′_{6} (c′_{4}, c′_{6} ∈ ZZ ),

avec c′_{4} = p^{−4}c_{4} et c′_{6} = p^{−6}c_{6}, et de discriminant Δ′ = p^{−12}Δ. On peut continuer ainsi cette descente en considérant tous les facteurs premiers de (c_{4}, Δ). Une équation de Weierstrass à coefficient dans ZZ est un modèle minimal si pour tout nombre premier p, on a l’une ou l’autre des conditions:

ord_{p}(Δ) < 12 ou ord_{p}(c_{4}) < 4.

3. Courbes elliptiques semi-stables. Conducteur

Définition 2. Soit E une courbe elliptique définie sur Q par un modèle minimal de Weierstrass:

E : y^{2} + a_{1}xy + a_{3}y = x^{3} + a_{2}x^{2} + a_{4}x + a_{6}, (a_{i} ∈ ZZ ).

Soit p un nombre premier.

- E a bonne réduction en p si ord_{p}(Δ) = 0.

- E a mauvaise réduction de type multiplicatif en p si ord_{p}(Δ) > 0 et ord_{p}(c_{4}) = 0.

- E a mauvaise réduction de type additif en p si ord_{p}(Δ) > 0 et ord_{p}(c_{4}) > 0.

- E est dite semi-stable en p si elle a bonne réduction ou mauvaise réduction de type multiplicatif en p.

On déduit donc, d’après cette définition, les propriétés suivantes:

- Une courbe elliptique est stable en tout nombre premier ne divisant pas son discriminant minimal.

- Une courbe elliptique non stable en un nombre premier p est semi-stable en p si les quantités c_{4} et Δ de son modèle minimal sont telles que |c_{4}, Δ|_{p} = 1.

- Une courbe elliptique non stable en un nombre premier p est instable en p si les quantités c_{4} et Δ de son modèle minimal sont tels que |(c_{4}, Δ)|_{p} < 1. Nous donnons maintenant la définition d’une courbe elliptique semi-stable.

Définition 3. Une courbe elliptique semi-stable en tout nombre premier est dite semistable.

On peut maintenant donner la définition du conducteur d’une courbe elliptique.

Définition 4. Soit E une courbe elliptique définie sur Q , de discriminant minimal Δ_{E}. Le conducteur de E est défini par:

N_{E} = ∏_{p|Δ_{E}} p^{m_{p}},

avec

m_{p} = \{ \begin{matrix}1 si la courbe est semi-stable en p, \\ 2 si la courbe est instable en p et si p ≠ 2, 3, \\ 2 + ε_{p} si la courbe est instable en p = 2, 3, avec 0 ≤ ε_{p} ≤ 7. \end{matrix}

Pour une définition plus détaillée, et pour une signification exacte de ε_{p}, on peut consulter par exemple [Sil1], p.361 D’après cette définition, on remarque que si E est une courbe elliptique semi-stable, alors son conducteur est le produit des facteurs premiers divisant son discriminant:

N_{E} = ∏_{p|Δ_{E}} p = r(Δ_{E}).

Appendice B

Les fractions continues

Dans cet appendice, on rappelle quelques résultats généraux et classiques sur le développement en fraction continue d’un réel. On se limitera cependant aux besoins de cette thèse. Les démonstration de tous les résultats cités dans cet appendice se trouvent dans la plupart des livres de Théorie des Nombres, comme par exemples dans [Ni-Zu-Mo]. La fraction continue d’un nombre réel ξ s’obtient de la façon suivante. On écrit:

ξ = a_{0} + \frac{1}{ξ_{1}} ,

où a_{0} = [ξ] est la partie entière de ξ. On recommence ensuite en remplaçant dans l’expression ci dessus ξ par ξ_{1}, ce qui donne un entier a_{1} et un réel ξ_{2}. On obtient ainsi les formules de récurrence:

ξ_{i} = a_{i} + \frac{1}{ξ_{i+1}} , i ≥ 0,

avec ξ_{0} = ξ et a_{i} = [ξ_{i}]. On a alors l’expression:

ξ = a_{0} + \frac{1}{a_{1} + \frac{1}{a_{2} + \frac{1}{a_{3} + \frac{1}{...}}}} ,

et on écrit tout simplement ξ = [a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, ⋯], qu’on appelle développement de ξ en fraction continue. Si ξ est rationnel, son développement en fraction continue est fini. En odoptant la convention que le dernier terme, s’il existe, est strictement supérieur à 1, alors le développement en fraction continue de tout réel est unique. Pour i ≥ 0, les réduites \frac{u_{i}}{v_{i}} de ξ sont obtenues en prenant (u_{i}, v_{i}) = 1 et

\frac{u_{i}}{v_{i}} = [a_{0}, ⋯, a_{i}].

Si on convient que u_{−2} = 0, v_{−2} = 1, u_{−1} = 1, v_{−1} = 0, alors on a les relations de récurrence:

\begin{matrix}u_{i} = a_{i}u_{i−1} + u_{i−2}, \\ v_{i} = a_{i}v_{i−1} + v_{i−2}, \end{matrix}

pour tout i ≥ 0.

Comme principales propriétés des réduites, nous avons:

u_{i}v_{i−1} − u_{i−1}v_{i} = (−1)^{i−1}, i ≥ 1, u_{i}v_{i−2} − u_{i−2}v_{i} = (−1)^{i}a_{i}, i ≥ 1,

|ξ − \frac{u_{i}}{v_{i}} | < \frac{1}{v_{i}v_{i+1}} ≤ \frac{1}{v_{i}^{2}} , i ≥ 0.

Si d est un entier positif, non carré parfait, alors son développement en fraction continue est périodique et:

\sqrt{d} = [a_{0}, \overline{a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{r−1}, 2a_{0}}],

où a_{0} = [\sqrt{d}]. Sa période est alors la suite (a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{r−1}, 2a_{0}), de longeur r. Si le développement du réel non nul ξ est ξ = [a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, ⋯], alors, les développements en fraction continue de −ξ et de 1/ξ s’obtiennent à l’aide des formules

−ξ = \{ \begin{matrix}[−a_{0} − 1, 1, a_{1} − 1, a_{2}, a_{3}, ⋯], & si a_{1} > 1, \\ [−a_{0} − 1, a_{2} + 1, a_{3}, ⋯], & si a_{1} = 1, \end{matrix}

\frac{1}{ξ} = \{ \begin{matrix}[0, a_{0}, a_{1}, a_{2}, ⋯], & si ξ > 1, \\ [a_{1}, a_{2}, a_{3}, ⋯], & si 0 < ξ < 1. \end{matrix}

Nous allons maintenant énoncer un théorème (sans démonstration).

Théorème 1. Soit ξ un nombre réel non nul. Soient \frac{u_{n}}{v_{n}} et \frac{u_{n+1}}{v_{n+1}} deux réduites consécutives de ξ. Pour tout couple (a, b) ∈ ZZ × N I ^{∗}tel que b < v_{n+1}, alors |bξ − a| ≥ |v_{n}ξ − u_{n}|.

Une preuve de ce théorème se trouve dans les références citées au début de cet appendice. Le seul résultat que nous allons montrer concernant les fractions continues est le théorème suivant (il servira assez souvent dans cette thèse).

Théorème 2. Soit ξ un nombre réel. Si la fraction irréductible \frac{a}{b} avec b ≥ 1 vérifie:

|ξ − \frac{a}{b}| < \frac{1}{2b^{2}} ,

alors \frac{a}{b} est une réduite de la fraction continue de ξ.

Preuve. Si ξ = \frac{a}{b}, le théorème est trivial. Si b = 1, alors |ξ − a| < \frac{1}{2}, et donc a = [ξ] ou

a = [ξ] + 1. Dans les deux cas \frac{a}{1} est une réduite de ξ et le théorème est vérifié. Supposons

maintenant que b > 1 et que ξ ≠ \frac{a}{b}. Soit n un entier vérifiant v_{n} ≤ b < v_{n+1}. D’après le

théorème 1, on a |v_{n}ξ − u_{n}| ≤ |bξ − a| < \frac{1}{2b}. Supposons que \frac{a}{b} ≠ \frac{u_{n}}{v_{n}}. Alors on a:

\frac{1}{bv_{n}} ≤ \frac{|bu_{n} − av_{n}|}{bv_{n}} = |\frac{u_{n}}{v_{n}} − \frac{a}{b}| ≤ |ξ − \frac{u_{n}}{v_{n}} | + |ξ − \frac{a}{b}| < \frac{1}{2bv_{n}} + \frac{1}{2b^{2}} = \frac{b + v_{n}}{2b^{2}v_{n}} ,

d’où b < v_{n}, ce qui contredit la définition de n.

Appendice C

Résolution des congruences

Nous aurons souvent besoin de résoudre des congruences, en particulier des congruences du type:

x^{n} ≡ a (mod m),

où a et m sont des entiers premiers entre eux. Résoudre de telles congruences peut s’avérer un problème difficile lorsque m est assez grand. Très peu de méthodes sont connues pour les traiter. Pour celles qu’on va décrire dans cet appendice, nous supposons que la factorisation de m est donnée sous la forme m = p_{1}^{e_{1}} … p_{r}^{e_{r}}. Le théorème des restes chinois permet d’isoler r congruences sous la forme:

(1).  x^{n} ≡ a (mod p^{e})

où p décrit l’ensemble des nombre premiers divisant m avec pour multiplicité e. Pour le nombre de solutions de la congruence (1) lorsque p ≥ 3, nous avons le théorème suivant:

Théorème 1. Soit p un nombre premier impair. Soit a un entier premier avec p. La congruence (1) admet k = (n, p^{e−1}(p − 1)) solutions si

a^{p^{e−1}(p−1)/k} ≡ 1 (mod p^{e}),

et aucune solution sinon.

Preuve. Soit g un générateur du groupe des unités de ZZ /p^{e}ZZ . Puisque (a, p) = 1, alors a = g^{i} pour un entier i. Si la congruence (1) a une solution x, alors (x, p) = 1 et donc x = g^{y} pour un certain entier y. La congruence est alors équivalente à la nouvelle congruence:

(2)  ny ≡ i (mod p^{e−1}(p − 1)).

Soit k = (n, p^{e−1}(p−1). Posons n′ = n/k. Si k|i, alors i = ki′ et la congruence (2) devient:

n′y ≡ i′ (mod p^{e−1}(p − 1)/k),

ce qui donne k solutions y = i′n^{′−1} + jp^{e−1}(p − 1)/k, j = 0, 1, ⋯ k − 1 où n^{′−1} est un inverse de n′ modulo p^{e−1}(p − 1)/k. Ainsi la congruence (1) a dans ce cas k solutions et on a:

a^{p^{e−1}(p−1)/k} ≡ g^{ip^{e−1}(p−1)/k} ≡ 1 (mod p^{e}),

puisque ip^{e−1}(p − 1)/k ≡ 0 (mod p^{e−1}(p − 1)). Si k |̸i, alors la congruence (2) n’a pas de solution et dans ce cas, on a:

a^{p^{e−1}(p−1)/k} ≡ g^{ip^{e−1}(p−1)/k} ≢ 1 (mod p^{e}),

puisque ip^{e−1}(p − 1)/k ≢ 0 (mod p^{e−1}(p − 1)). ■

Posons maintenant n = p^{β}n′ avec (p, n′) = 1. On a alors:

(n, p^{e−1}(p − 1)) = (p^{β}n′, p^{e−1}(p − 1)) = (p^{β}, p^{e−1}) (n′, p − 1) .

Si e > β, la résolution de la congruence (1) peut se faire en deux étapes: Résoudre la congruence

t^{p^{β}n′} ≡ a (mod p^{β+1}),

puis en utilisant le lemme de Hensel et la méthode de Newton, on peut remonter jusqu’aux solutions de la congruence (1). Ceci est utilisé plus en détail dans le chapitre 3, partie III. Quand au nombre de solutions de la congruence (1) lorsque p = 2, il est déterminé par le théorème suivant:

Théorème 2. Soit a un entier impair et p = 2. Si e = 0 ou e = 1 ou si e ≥ 2 et n impair, la congruence (1) admet une solution. Si e ≥ 2 et n est pair, elle admet 2(n, 2^{e−2}) solutions si a ≡ 1 (mod 4(n, 2^{e−1})) et aucune solution sinon.

Preuve. La preuve se base sur l’ordre de 5 modulo 2^{e} (voir [Ni-Zu-Mo], p.105). ■

Dans le cas p = 2, posons n = 2^{β}n′ où n′ est impair et β positif. Si e > β + 2, alors la congruence (1) peut être résolue aussi en deux étapes: résoudre la congruence

t^{n} ≡ a (mod 2^{β+2}),

puis en utilisant le lemme de Hensel et la méthode de Newton, remonter jusqu’aux solutions de la congruence (1). ■

Nous aurons souvent affaire à la congrunce suivante:

(3)  x^{2} ≡ a (mod p),

où a est un entier et p un nombre premier impair avec (a, p) = 1. Cette congruence, d’après le théorème 1 admet 2 solutions si a^{(p−1)/2} ≡ 1 (mod p) ou aucune solution sinon. On peut donc dire qu’elle admet 1 + (\frac{a}{p}) solution où (\frac{a}{p}) désigne le symbole de Legendre. Nous allons décrire maintenant un algorithme pour résoudre la congruence (3). Cet algorithme s’appelle Ressol et est dû à D. Shanks (voir [Ni-Zu-Mo]).

Algorithm Ressol Entrée: a, p premier.

Calculer le symbole de Legendre s := (\frac{a}{p}).

Si s = −1, il n’y a pas de solution: stop; Sinon

Si p ≡ 3 (mod 4), x := ±a^{(p+1)/4} est solution: stop; Déterminer k_{0} ≥ 2 et m impair tels que p − 1 = 2^{k_{0}}m; r_{0} :≡ a^{(m+1)/2} (mod p); n_{0} :≡ a^{m} (mod p); Si n_{0} ≡ 1 (mod p), x := ±r_{0} est solution: stop Sinon

Déterminer un non-résidu quadratique z modulo p; c_{0} :≡ z^{m} (mod p); i := 0; Tant que n_{i} ≢ 1 (mod p) répéter

Déterminer l’ordre 2^{k_{i+1}} de n_{i};

b_{i+1} :≡ c_{i}^{2^{k_{i}−k_{i+1}−1}} (mod p);
r_{i+1} :≡ b_{i+1}r_{i} (mod p);
c_{i+1} :≡ b_{i+1}^{2} (mod p);
n_{i+1} :≡ c_{i+1}n_{i} (mod p);
Si n_{i+1} ≡ 1 (mod p), x := ±r_{i+1} est solution: stop;
Sinon i := i + 1;

Sortie: Solutions de la congruence x^{2} ≡ a (mod p).

Nous donnons maintenant la démonstration de cet algorithme ainsi qu’une estimation de sa complexité.

Théorème 3. L’algorithme Ressol termine toujours, avec une complexité en

O (p^{(4\sqrt{e})^{−1}+ε}) ,

où e désigne ici la base de l’exponentielle et où ε est une constante positive indépendante de p et de a.

Preuve. Soit s = (\frac{a}{p}). Si s = −1, alors a n’est pas un résidu quadratique modulo p et donc la congruence (3) n’a pas de solutions. Supposons que s = 1. Si p ≡ 3 (mod 4), alors:

(±a^{(p+1)/4})^{2} = a^{(p+1)/2} = aa^{(p−1)/2} ≡ a (mod p),

ce qui donne les deux solutions de la congruence (3). Supposons maintenant que p ≡ 1 (mod 4). Ecrivons p − 1 = 2^{k_{0}}m avec k_{0} ≥ 2 et m impair. Des expressions de r_{0} et n_{0}, on obtient:

r_{0}^{2} ≡ an_{0} (mod p),

et donc si n_{0} ≡ 1 (mod p), alors ±r_{0} sont les solutions de la congruence (3). La détermination d’un non-résidu quadratique z modulo p se fait en:

O (p^{(4\sqrt{e})^{−1}+ε}) ,

où ε est une constante absolue. En pratique, z peut être déterminé en testant les premiers entiers. Soit c_{0} ≡ z^{m} (mod p). On a alors:

c_{0}^{2^{k_{0}−1}} ≡ z^{2^{k_{0}−1}m} ≡ z^{(p−1)/2} ≡ −1 (mod p).

Ainsi l’ordre de c_{0} est 2^{k_{0}}. D’autre part, si n_{0} ≢ 1 (mod p), alors:

n_{0}^{2^{k_{0}−1}} ≡ a^{2^{k_{0}−1}m} ≡ a^{(p−1)/2} ≡ 1 (mod p),

puisque a est un résidu quadratique modulo p. Ceci signifie que l’ordre de n_{0} est de la forme 2^{k_{1}} avec k_{1} < k_{0}. En multipliant la congruence r_{0}^{2} ≡ an_{0} (mod p) par b_{1}^{2}, on obtient b_{1}^{2}r_{0}^{2} ≡ ab_{1}^{2}n_{0} (mod p) et donc:

r_{1}^{2} ≡ an_{1} (mod p).

Si n_{1} ≡ 1 (mod p), alors d’après la congruence ci dessus, on a r_{1}^{2} ≡ a (mod p) et donc x = ±r_{1} (mod p). Si ce n’est pas le cas, on doit recommencer le procédé où cette fois c_{1} sera d’ordre 2^{k_{1}} avec k_{1} < k_{0}. Cet algorithme termine car la suite (k_{i}) est strictement décroissante. ■

Remarque. Si un non-résidu quadratique modulo p est donné, la complexité de l’algorithme est seulement en O (log p).

On considère maintenant la congruence:

x^{q} ≡ a (mod p),

où p et q sont des nombres premiers impairs. Nous donnons, sans démonstration l’algorithme ci-dessous pour résoudre cette congruence. La version détaillée se trouve dans [Wil-Har].

Algorithme de résolution de la congruence x^{q} ≡ a (mod p)

Entrée: Deux nombres premiers impairs p et q et un entier non nul a.

Si p = q alors x :≡ a (mod p) est solution; Stop; Sinon

Si p ≢ 1 (mod q) alors calculer u :≡ q^{−1} (mod p − 1), 0 < u < p − 1, x :≡ a^{u} (mod p) est solution; Stop

Sinon Calculer s ≡ a^{(p−1)/q} (mod p); Si s ≠ 1 alors pas de solution; Stop Sinon

b := 1; Tant que (b^{q} − a)^{(p−1)/q} ≡ 0, 1 (mod p) faire b := b + 1; c :≡ (b^{q} − a)^{(p−1)/q} (mod p); θ := (b^{q} − a)^{1/q}; Base := (1, θ, θ^{2}, ⋯, θ^{q−1}); Pour i = 0 à q − 2 calculer dans Base

X_{i} := (b − c^{i}θ)^{(−1)^{q−i}\binom{q−1}{i}};

Pour i = 1 à q − 1 calculer dans Base

Y_{i} := (b − c^{q−i−1}θ)^{(1−(−1)^{i}\binom{q−1}{i})/q};

Calculer

E_{1} := ∏_{i=0}^{q−2} X_{i} = ∑_{i=0}^{q−1} a_{i}θ^{i}, 0 ≤ a_{i} ≤ p − 1;

E_{2} := ∏_{i=1}^{q−1} Y_{i} = ∑_{i=0}^{q−1} b_{i}θ^{i}, 0 ≤ b_{i} ≤ p − 1;

Pour i = 0 à q − 1 faire a_{i}(1) := a_{i}; Calculer a_{i}((p−1)/q) en utilisant la formule de récurrence:

a_{i}(m + n) := ∑_{j=0}^{i} a_{j}(m)a_{i−j}(n) + (b^{q} − a) ∑_{j=i+1}^{q−1} a_{j}(m)a_{q+i−j}(n), m, n = 1, 2, ⋯;

Calculer

x^{(0)} := a_{0}((p − 1)/q)b_{0} + (b^{q} − a) ∑_{i=1}^{q−1} a_{i}((p − 1)/q)b_{q−i};

Pour j = 1 à q − 1 calculer x^{(j)} := c^{j}x^{(0)};

Sortie: Les solutions x^{(j)}, 0 ≤ j ≤ q − 1 de la congruence x^{q} ≡ a (mod p). ■

La complexité de l’algorithme ci-dessus est en (voir [Wil-Har]):

O (q^{4}) + O (q^{2} log(p)) .

Bibliographie

[Bac] G. Bachmann, Introduction to p-adic Numbers and Valuation Theory, Academic Press, New York and London, 1964.

[Bak] A. Baker, Bounds for the solutions of the hyperelliptic equation, Proc. Camb. Phil. Soc. 65 (1969), 439 − 444.

[Bro-Brz] J. Browkin and J. Brzezinski, Some remarks on abc-conjecture, preprint, Université de Göteborg, 1992, à paraître.

[Coh1] J. H. E. Cohn, The diophatine equation x^{2} + 19 = y^{n}, Acta Arith. 39 (1964), 1537 − 540.

[Coh2] J. H. E. Cohn, On square Fibonacci numbers, J. London Math. Soc. 61 (1992), 193 − 197.

[Cor] G. Cornacchia, Su di un metodo per la risoluzione in numeri interi dell’ equazione ∑_{h=0}^{n} C_{h}x^{n−h}y^{h} = P, Giornale di Matematiche di Battaglini 46 (1908), 33−90.

[Elk] N. D. Elkies, ABC implies Mordell, Intern. Math. Res. Notices 7 (1991), 99 − 109.

[Erd-Sho] P. Erdös and T. N. Shorey, On the greatest prime factor of 2^{p} − 1 for a prime p and other expressions, Acta Arith. 30 (1976), 257 − 265.

[Eve] J. H. Evertse, On the equation ax^{n} − by^{n} = c, Compositio Math. 47 (1982), 289 − 315.

[Fai] A. Faisant, L’équation Diophantienne du Second Degré, Hermann, Paris (1991).

[Fo-Na-Te] E. Fouvry, M. Nair et G. Tenenbaum, L’ensemble exceptionnel dans la conjecture de Szpiro, Bull. Soc. Math. France 120 1992, 485 − 506.

[Fre] G. Frey, Links between elliptic curves and solutions of A−B = C, Indian Math. Soc. 51 (1987), 117 − 145.

[Guy] R. K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, Springer Verlag, 1981.

[Hal] M. Hall Jr, The diophantine equation x^{3} − y^{2} = k, Computers in Number Theory, Proceeding of the Science Research Concil Atlas Symposium No. 2, Oxford 1969, Academic Press, London (1971), 173 − 198.

[Ha-Mu-Wi] K. Hardy, J. B. Muskat and K. S. Williams, A deterministic algorithm for solving n = fu^{2} + gv^{2} in coprime integers u and v, Math. Comp. 55 (1990), 327 − 343.

[Hel1] Y. Hellegouarch, Courbes elliptiques et équation de Fermat, Thèse (1972), Université de Besançon.

[Hel2] Y. Hellegouarch, Points d’ordre 2p^{h} sur les courbes elliptiques, Acta Arith. 26, (1975), 253 − 263.

[Hua] L. K. Hua, On the least solution of Pell’s equation, Bull. Amer. Math. Soc. 48 (1942), 731 − 735.

[Ink] K. Inkeri, On the diophantine equation a (ax^{n} − 1) /(x − 1) = y^{m}, Acta Arith. 21 (1972), 299 − 311.

[Lan] S. Lang, Old and new conjectured diophantine inequalities, Bull. Amer. Math. Soc. 23 (1990), 37 − 75.

[Lange1] M. Langevin, Partie sans facteur carré d’un produit d’entiers voisins , Approximations Diophantiennes et Nombres Transcendants, Luminy 1990, Walter de Druyter and Co. Berlin-New York 1992.

[Lange2] M. Langevin, Cas d’égalité pour le théorème de Mason et applications de la conjecture (abc), C. R. Acad. Sci. Paris, t. 317 (1993), 441 − 444.

[Le1] Le Maohua, On the diophantine equation x^{2} + d = 4p^{n}, J. Number Theory. 41 (1992), 87 − 97.

[Le2] Le Maohua, On the diophantine equations d_{1}x^{2} + 2^{2m}d_{2} = y^{n} and d_{1}x^{2} + d_{2} = 4y^{n}, Proc. Amer. Math. Soc. 1 (1993), 67 − 70.

[L-L-M-P] A. K. Lernstra, H. W. Lenstra Jr, M. S. Manasse and J. M. Pollard, The number field sieve,, Proceedings of AMS-STOC’90, 564-572.

[Lju] W. Ljunggren, Zur Theorie der Gleichung x^{2}+1 = dy^{4},Avh. Norske Vid. Akad. Oslo 5 (1942), 1 − 27.

[Mas] R. C. Mason, Diophantine equations over Function Fields, LMS Lecture Notes 96, Cambridge University Press 1984.

[Mon] P. L. Montgomery, New solutions of a^{p−1} ≡ 1 (mod p^{2}), Math. Comp. 61 (1993), 361 − 363.

[Mor] F. Morain, Courbes elliptiques et tests de primalité, Thèse (1990), Université de Lyon 1.

[Mord] L. J. Mordell, Diophantine Equations, Academic Press (New York), 1969.

[Nit1] A. Nitaj, Algorithms for finding abc-examples, preprint n^{o} 60 (1992), Université de Caen.

[Nit2] A. Nitaj, Algorithms for finding good examples for the abc and the Szpiro conjectures, preprint n^{o} 61 (1993), Université de Caen, à paraître dans Experimental Mathematics.

[Nit3] A. Nitaj, An algorithm for finding good abc-examples, C. R. Acad. Sci. Paris, t. 317 (1993), 811 − 815.

[Ni-Zu-Mo] I. Niven, H. S. Zuckerman and H. L. Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers, John Wiley and Sons, (New York) 1991.

[Oes] J. Oesterlé, Nouvelles approches du théorème de Fermat, Séminaire Bourbaki, 1987-88, no. 694. (Astérisque, vols. 161-162, pp 165-186) Paris, Soc. Math. Fr. 1988.

[Ove] M. Overholt, The diophantine equation n! + 1 = m^{2}, Bull. London Math. Soc. 25 (1993), 104.

[Pil] S. S. Pillai, On the inequality 0 < a^{x} − b^{y} ≤ n, J. Indian Math. Soc. 37 (1931), 1 − 11.

[Rib1] P. Ribenboim, 13 Lectures on Fermat’s Last Theorem, Springer-Verlag, 1979.

[Rib2] P. Ribenboim, Remarks on exponential congruences and powerful numbers, J. Number Theory, 29 (1988), 251 − 263.

[Rib3] P. Ribenboim, The Little Book of Big Primes, Springer-Verlag, 1991.

[Ric] D. Richard, Equivalence of some questions in mathematical logic with some conjectures in Number Theory, Number Theory and Applications, R. A. Mollin ed. , NATO-ASI Ser. (C-265), Kluwer, (1989), 529 − 545.

[Rie] H. Riesel, Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, Birkhäuser, Basel and New York, 1985.

[Ros] K. H. Rosen, Elementary Number Theory and Its Application, Addison-Wesley 3rd ed. 1992.

[Sch-Tij] A. Schinzel and R. Tijdeman, On the equation y^{m} = P (x), Acta Arith. 31 (1976), 199 − 204.

[Schm] W. M. Schmidt, Diophantine Approximations and Diophantine Equations, Lect. Notes in Math. 1467, Springer-Verlag 1991.

[Sco] R. Scott, On the diophantine equations p^{x} −b^{y} = c and a^{x} +b^{y} = c^{z}, J. Number Theory 44 (1993), 153 − 165.

[Sho] T. N. Shorey, On the greatest prime factor of (ax^{m} + by^{n}), Acta Arith. 36 (1980), 21 − 25.

[Sho-Tij] T. N. Shorey and R. Tijdeman, Exponential Diophantine Equations, Cambridge University Press, Cambridge (1986).

[Sil1] J. H. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, Springer-Verlag, 1986.

[Sil2] J. H. Silverman, Wieferich’s criterion and the abc-conjecture, J. Number Theory 30 (1988), 226-237.

[Sil3] J. H. Silverman, Taxicabs and sums of two cubes, Amer. Math. Monthly 100 (1993), 331 − 340.

[Sil-Tat] J. H. Silverman and J. Tate, Rational Points on Elliptic Curves, Springer-Verlag, 1992.

[Sta] H. M. Stark, Effective estimates of solutions of some diophantine equations, Acta Arith. 24 (1973), 251 − 259.

[Ste] C. L. Stewart, The greatest prime factor of a^{n} − b^{n}, Acta Arith. 26 (1975), 427 − 433.

[Ste-Tij] C. L. Stewart and R. Tijdeman, On the Oesterlé-Masser conjecture, Monatsh. Math. 102 (1986), 251 − 257.

[Ste-Yu] C. L. Stewart and Kunrui Yu, On the abc-conjecture, Math Ann. 291 (1991), 225 − 230.

[Sto1] C. Stormer, Quelques théorèmes sur l’équation de Pell x^{2} − Dy^{2} = ±1 et leurs applications, Vid. Skr. I Math. Natur. Kl. (Christiana) 1897 No. 2, 48, 3−48.

[Sto2] C. Stormer, L’équation marctan\frac{1}{x} + narctan\frac{1}{y} = kπ/4, Bull. Soc. Math. France 27 (1899), 160 − 170.

[Szp] L. Szpiro, Discriminant et conducteur des courbes elliptiques, Astérisques 183 (1990), 7 − 18.

[Ter] N. Terai, The diophantine equation x^{2} + q^{m} = p^{n}, Acta Arith. 63 (1993), 351 − 358.

[Tij] R. Tijdeman, Diophantine equations and diophantine approximations, Number Theory and Applications, R. A. Mollin ed. , NATO-ASI Ser. (C-265), Kluwer, (1989), 215 − 243.

[Tza-Wol] N. Tzanakis and J. Wolfskill On the diophantine equation y^{2} = 4q^{n} + 4q + 1, J. Number Theory. 23 (1986), 219 − 237.

[Va-Gi-To] B. Vallée, M. Girault et P. Toffin, How to guess l-th roots modulo n by reducing lattice bases, Comptes Rendus du Congrès AAECC-88, Rome 1988, Lectures Notes in Computer Science (357), 427 − 442.

[Voj] P. Vojta, Diophantine Approximation and Value Distribution Theory, Lect. Notes in Math. 1239, Springer-Verlag 1987.

[Weg] B. M. M. de Weger, Algorithms for diophantine equations, CWI Tract, Centr. Math. Comput. Sci. , Amsterdam 1989.

[Wil-Har] K. S. Williams and K. Hardy, A refinement of H. C. Williams’qth root algorithm, Math. Comp. 61 (1993), 475 − 483.

[Zhe] C. Zhenfu, On the diophantine equation x^{2n} − dy^{2} = 1, Proc. Amer. Math. Soc. 98 (1986), 11 − 16.

RÉSUMÉ: Nous étudions dans cette thèse les conséquences et les aspects expérimentaux de la conjecture abc et des conjectures de Szpiro. Nous montrons d’abord comment appliquer ces conjectures pour apporter une réponse à plusieurs conjectures et problèmes ouverts, montrant ainsi leur importance en théorie des nombres. Indépendamment de ces conjectures, nous donnons une démonstration d’une des nombreuses conjectures d’Erdös concernant les nombres puissants.

Nous consacrons une grande partie de cette thèse aux aspects numériques et expérimentaux des conjectures abc et de Szpiro. Pour cela, nous étudions les équations de Pell, les équations de Thue et la résolution des congruences modulo une grande puissance d’un nombre premier. A ce propos, nous décrivons des méthodes efficaces pour les résoudre et nous donnons une nouvelle démonstration de la validité de l’algorithme de Cornacchia. Nous appliquons d’abord ces méthodes pour étudier les nombres de Ramanujan (problème des Taxicabs) découvrant ainsi de nouvelles familles de ces nombres. Nous appliquons ensuite ces méthodes pour déterminer des exemples de courbes elliptiques ayant un rapport de Szpiro assez élevé par rapport à sa valeur conjecturale.

Enfin, nous consacrons une part importante à la recherche d’exemples de triplets pour la conjecture abc. Nous avons ainsi découvert un grand nombre de ces triplets ayant un rapport d’Oesterlé-Masser assez élevé par rapport à sa valeur conjecturale. Nous avons aussi découvert les meilleurs exemples de triplets d’entiers pour le rapport de Szpiro, donnant ainsi autant d’exemples de courbes elliptiques qui se distinguent de la forme prévue par les conjectures de Szpiro.

MOTS CLÉS: Courbes Elliptiques, Conjectures de Szpiro, Conjecture abc, Relations abc, Equations Diophantiennes, Congruences, Fractions Continues, Algorithmes, Complexité, Nombres de Ramanujan, Nombres premiers, Factorisation des entiers, Nombres puissants.